Grenzwert von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Mo 06.04.2015 | | Autor: | needmath |
| Aufgabe | ich habe eine frage zu der folgenden Definition:
Ist [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] eine Folge reeller Zahlen, so ist die Zahl [mm] a\in\IR [/mm] der Grenzwert dieser Folge und die Folge konvergiert gegen a, falls für jedes [mm] \varepsilon>0 [/mm] in dem Intervall [mm] (a-\varepsilon,a+\varepsilon) [/mm] um a ab einem gewissen Index alle Glieder innerhalb und nur endlich viele Glieder der Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] außerhalb liegen. |
ich will mich erstma nur auf den folgenden Ausschnitt beziehen:
Ist $ [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] $ eine Folge reeller Zahlen, so ist die Zahl $ [mm] a\in\IR [/mm] $ der Grenzwert dieser Folge
ich verstehe diese schreibweise $ [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] $ nicht ganz. $ [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] $ ist eine Folge, bei dem der Grenzwert a ist. (weißt man denn wogegen der Index n strebt?)
angenommen ich habe die Folge [mm] \bruch{1}{n} [/mm] mit n [mm] \in\IR
[/mm]
diese folge würde gegen Null konvergieren, wenn n immer größer wird, d.h. gegen unendlich strebt
würde dann die schreibweise $ [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] $ in diesem Fall dann so lauten [mm] (0_n)_{n\in\IR}?
[/mm]
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[mm]\left( a_n \right)_{n \in \mathbb{N}}[/mm] ist eine abkürzende Schreibweise für das ausführliche [mm]\left( a_1 , a_2 , a_3 , a_4 , \ldots \right)[/mm] .
Wenn bei euch 0 zu [mm]\mathbb{N}[/mm] dazugehört, dann beginnt die Aufzählung mit [mm]a_0[/mm]. Wenn der Indexbereich aus dem Zusammenhang klar ist, schreibt man oft auch kürzer [mm]\left( a_n \right)[/mm].
Wenn [mm]a_n = \frac{1}{n}[/mm] gilt, dann wäre das hier
[mm]\left( a_n \right)_{n \in \mathbb{N}} = \left( \frac{1}{n} \right)_{n \in \mathbb{N}} = \left( \frac{1}{1} , \frac{1}{2} , \frac{1}{3} , \frac{1}{4} , \ldots \right)[/mm]
Deine Textaufteilung bei der Definition ist nicht günstig. Alles, was vor dem Wörtchen "falls" steht, ist das, was definiert wird. Und hinter "falls" steht, wodurch es definiert wird. Die Formulierung der Definition ist etwas unglücklich. Es klingt so, also käme nach dem Wörtchen "so" das, was definiert wird. Und genau darauf scheinst du mir auch hereingefallen zu sein.
Eine bessere Formulierung:
Sei [mm]\left( a_n \right)_{n \in \mathbb{N}}[/mm] eine Folge reeller Zahlen und [mm]a \in \mathbb{R}[/mm].
Man sagt: [mm]a[/mm] ist der Grenzwert der Folge [mm]\left( a_n \right)[/mm] (oder alternativ: [mm]\left( a_n \right)[/mm] konvergiert gegen [mm]a[/mm]), falls ... (jetzt kommt die [mm]\varepsilon[/mm]-Geschichte).
Bei Folgen ist immer der Grenzübergang [mm]n \to \infty[/mm] gemeint.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Mo 06.04.2015 | | Autor: | needmath |
> Deine Textaufteilung bei der Definition ist nicht günstig.
> Alles, was vor dem Wörtchen "falls" steht, ist das, was
> definiert wird. Und hinter "falls" steht, wodurch es
> definiert wird.
das was nach dem wort "falls" kommt, verstehe ich nicht wirklich. kann mir das jemand erklären?
vielleicht mit der folge [mm] a_n=\frac{1}{n}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:26 Mo 06.04.2015 | | Autor: | Fulla |
>
> > Deine Textaufteilung bei der Definition ist nicht günstig.
> > Alles, was vor dem Wörtchen "falls" steht, ist das, was
> > definiert wird. Und hinter "falls" steht, wodurch es
> > definiert wird.
>
> das was nach dem wort "falls" kommt, verstehe ich nicht
> wirklich. kann mir das jemand erklären?
> vielleicht mit der folge [mm]a_n=\frac{1}{n}[/mm]
Hallo needmath,
du weißt ja schon, dass [mm]a_n=\frac 1n[/mm] gegen [mm]a=0[/mm] konvergiert. Die Definition sagt (salopp formuliert):
Nimm dir eine beliebige Zahl [mm]\varepsilon>0[/mm] - nehmen wir mal 0,4. "Konvergenz gegen [mm]a=0[/mm]" bedeutet jetzt, dass ab einem gewissen Folgenglied [mm]a_k[/mm] alle weiteren Folgenglieder im Intervall [mm](a-\varepsilon, a+\varepsilon)[/mm] liegen. Hier wäre das das Intervall [mm](-\varepsilon, \varepsilon)[/mm], bzw. [mm](-0.4, 0.4)[/mm]. Offenbar liegen alle Folgenglieder ab [mm]a_3=\frac 13[/mm] in diesem Intervall.
So eine Zahl [mm]\varepsilon[/mm] zu finden ist nicht sonderlich schwer, aber eine reicht nicht. Du musst nachweisen, dass die Aussage für alle [mm]\varepsilon>0[/mm] gilt - genauer: egal wie klein du [mm]\varepsilon[/mm] wählst, die Aussage muss erfüllt sein. Für [mm]\varepsilon =0.000002[/mm] etwa liegen alle Folgenglieder ab [mm]a_{1000000}=0.000001[/mm] im Intervall [mm](-0.000002, 0.000002)[/mm].
Die Definition ist sogar noch ein wenig "lockerer" als ich es gerade beschrieben habe: Es ist auch erlaubt, dass ein paar "Ausreißer" dabei sind, also Folgenglieder, die eben nicht in diesem Intervall liegen. Das dürfen aber nur endlich viele sein.
Beim letzten Beipiel wäre es beispielsweise ok, wenn z.B. die Folgenglieder [mm] $a_{2000000}$ [/mm] bis [mm] $a_{2222222}$ [/mm] außerhalb und alle weiteren wieder innerhalb des Intervalls liegen. (Das ist hier aber natürlich nicht der Fall...)
Lieben Gruß,
Fulla
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Mo 06.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich habe eine frage zu der folgenden Definition:
>
> Ist [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge reeller Zahlen, so ist die
> Zahl [mm]a\in\IR[/mm] der Grenzwert dieser Folge und die Folge
> konvergiert gegen a, falls für jedes [mm]\varepsilon>0[/mm] in dem
> Intervall [mm](a-\varepsilon,a+\varepsilon)[/mm] um a ab einem
> gewissen Index alle Glieder innerhalb und nur endlich viele
> Glieder der Folge [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] außerhalb liegen.
> ich will mich erstma nur auf den folgenden Ausschnitt
> beziehen:
>
> Ist [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge reeller Zahlen, so ist die
> Zahl [mm]a\in\IR[/mm] der Grenzwert dieser Folge
ich finde diese Definition schon schlecht formuliert. Eine Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm]
von (hier erstmal: reellen) Zahlen kann als Abbildung
[mm] $\textbf{a} \colon \IN \to \IR$
[/mm]
verstanden werden. [mm] ($\textbf{a}$ [/mm] und [mm] $a\,$ [/mm] sollen hier was Unterschiedliches sein;
generell ist es - von diesem Standpunkt aus betrachtet - auch eher schlecht,
den Grenzwert einer Folge [mm] $a=(a_n)$ [/mm] auch mit [mm] $a\,$ [/mm] zu bezeichnen, jedenfalls
aus didaktischer Sicht; denn in dieser Notation will man die Abbildung
selbst [mm] $a\,$ [/mm] nennen, es ist dann also
$a [mm] \colon \IN \to \IR\,.$
[/mm]
Man könnte dann den Grenzwert auch [mm] $a_\infty$ [/mm] nennen, aber meist gehen die
Autoren davon aus, dass der Leser wohl selbst unterscheiden kann, wann
im Falle einer konvergenten Folge das Symbol [mm] $a\,$ [/mm] für die Folge selbst (also
als Abbildung) und wann es als deren Grenzwert gemeint ist!)
Dabei ist dann [mm] $a_n:=\textbf{a}(n)\,.$
[/mm]
Man sagt, dass die Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] (hier Kurzschreibweise für [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$) [/mm] konvergent
ist, wenn eine Zahl $a [mm] \in \IR$ [/mm] so existiert, dass gilt: (siehe Deinen Textausschnitt).
In diesem Falle nennt man jede solche Zahl [mm] $a\,$ [/mm] dann EINEN Grenzwert der
(reellen) Folge [mm] $(a_n)\,.$ [/mm] Dass man im Falle der Konvergenz dann sogar von DEM
Grenzwert reden darf, liegt an der Eindeutigkeit!
>
> ich verstehe diese schreibweise [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] nicht
> ganz. [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] ist eine Folge, bei dem der Grenzwert
> a ist. (weißt man denn wogegen der Index n strebt?)
In der Definition steht doch gar nichts darüber, dass der Index gegen irgendwas
streben müßte. Die Definition beschreibt aber dennoch eigentlich ein Verhalten
"bei $n [mm] \to \infty$"!
[/mm]
Ganz klar ist das nicht, aber wenigstens suggestiv: Wenn man [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ *immer
kleiner werden läßt*, werden die entsprechenden Endstücke in der Regel
"auch immer weiter *rechts*" liegen müssen!
Aber Du brauchst eigentlich an keiner Stelle die Symbolik "$n [mm] \to \infty$" [/mm] neu zu
*entschlüsseln*, in der Notation [mm] $a_n \to [/mm] a$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] oder [mm] $\lim_{n \to \infty}a_n=a$ [/mm] braucht
man dem Teil "$n [mm] \to \infty$" [/mm] gar nicht separat zu entschlüsseln, er ist nur
Teil der gesamten Definition bzw. der dazugehörigen Symbolik!
Anders gesagt: Wenn ich nur sage, dass die Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] den Grenzwert [mm] $a\,$
[/mm]
hat, dann kannst Du damit schon arbeiten; und ich habe an keiner Stelle
erwähnt, wogegen denn der Index dabei laufen möge.
Rein mal für den Hinterkopf: Etwa im Heuser kannst Du aber auch etwas
über "Netzkonvergenz" lesen.
> angenommen ich habe die Folge [mm]\bruch{1}{n}[/mm] mit n [mm]\in\IR[/mm]
Mit $n [mm] \neq [/mm] 0$!
> diese folge würde gegen Null konvergieren, wenn n immer
> größer wird, d.h. gegen unendlich strebt
Das ist keine Folge, sondern sowas nennt man "Familie". Hier brauchst Du
auch eher den Begriff des Funktionengrenzwertes (allgemein gibt es da
etwa Definitionen bzgl. $x [mm] \to x_0$ [/mm] oder $x [mm] \to \pm \infty$).
[/mm]
> würde dann die schreibweise [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] in diesem
> Fall dann so lauten [mm](0_n)_{n\in\IR}?[/mm]
???
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:49 Mo 06.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich schlage einfach mal folgendes vor: Es sei $D [mm] \subseteq \IR$ [/mm] so, dass [mm] $D\,$ [/mm] nach oben
UNBESCHRÄNKT ist. Ferner sei $f [mm] \colon [/mm] D [mm] \to \IR\,$ [/mm] und $G [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
Wir definieren die Notation "$f(x) [mm] \to [/mm] G$ bei $x [mm] \to \infty$" [/mm] (alles in Gänsefüßchen ist
Teil der Notation, die es zu definieren gilt):
Sie soll bedeuten: Für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ existiert ein reelles [mm] $x_0=x_0(\varepsilon) \;\,(\in [/mm] D)$ so, dass für alle
$x > [mm] x_0$ [/mm] gilt:
$f(x) [mm] \in (G-\varepsilon,\;G+\varepsilon)$.
[/mm]
(Beachte, dass die Notation [mm] $f(x)\,$ [/mm] insbesondere $x [mm] \in [/mm] D$ mitbeinhaltet, Du kannst
also auch ausführlicher sagen:
Für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ existiert ein reelles [mm] $x_0=x_0(\varepsilon)\;\, (\in [/mm] D)$ so, dass für alle $x > [mm] x_0$ [/mm] mit $x [mm] \in [/mm] D$
$f(x) [mm] \in (G-\varepsilon,\;G+\varepsilon)$
[/mm]
gilt.
Anstatt $f(x) [mm] \to [/mm] G$ bei $x [mm] \to \infty$ [/mm] schreibt man auch [mm] $\lim_{x \to \infty}f(x)=G$ [/mm] oder [mm] $\lim_{D \ni x \to \infty}f(x)=G\,,$ [/mm] oder
etwa auch $f(x) [mm] \stackrel{x \to \infty}{\longrightarrow}G\,,$ [/mm] oder oder oder...)
Für den Spezialfall [mm] $D=\IN$ [/mm] erhältst Du die Definition "der Konvergenz einer
Folge gegen [mm] $G\,$".
[/mm]
Btw.: $f(x) [mm] \in (G-\varepsilon,\,G+\varepsilon)$ $\iff$ $-\varepsilon \,<\, [/mm] f(x)-G [mm] \,<\, \varepsilon$ $\iff$ [/mm] $|f(x)-G| [mm] \,<\,\varepsilon$.
[/mm]
Die rechteste Charakterisierung kann man direkt schon benutzen, um die
Definition 'des' Grenzwertes "auf komplexwertige Folgen zu übertragen";
bzw. um der Notation "$f(x) [mm] \to [/mm] G$ bei $x [mm] \to \infty$" [/mm] für $f [mm] \colon [/mm] D [mm] \to \IC$ [/mm] und $G [mm] \in \IC$ [/mm] eine
passende Bedeutung zu geben! ($D [mm] \subseteq \IR$ [/mm] sei wie oben, also nach oben
unbeschränkt!)
Gruß,
Marcel
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