Grenzwert von Folgen II < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Man berechne im Konvergenzfall den Grenzwert der Folge [mm]a_n[/mm], wobei
[mm]a_n[/mm] einen der folgenden Werte hat:
1. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n} - \wurzel{n-1}[/mm]
2. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3n^2+4n}{\sqrt[3]{n^6+n^4+1} }[/mm]
3. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}}[/mm]
4. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} 1+(-\bruch{3}{5})^n[/mm]
5. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n^2})^n[/mm]
6. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n^2})^n^2[/mm]
7. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2n+(-1)^n}{n}[/mm]
8. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n(1-\wurzel{1+\bruch{4}{n}})[/mm]
9. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\bruch{n^2+n+2}{n^3+1}} [/mm]
10. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\bruch{4^n+1}{n}} [/mm]
11. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n^2+8n+17}-n-1[/mm] |
Gute Nacht :)
Ich hoffe Ihr könnt kurz über meine Ansätze rüberschauen und mir sagen, was falsch oder richtig ist und falls es falsch ist, mir bitte einen Tipp geben.
Zu 1:
Nebenrechnung:
[mm] \wurzel{n} - \wurzel{n-1} = \wurzel{n} - \wurzel{n-1} * \bruch{ \wurzel{n} + \wurzel{n-1} }{ \wurzel{n} + \wurzel{n-1} } = \bruch{n-(n-1)}{\wurzel{n} + \wurzel{n-1}} = \bruch{1}{\wurzel{n} + \wurzel{n-1}}[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n} - \wurzel{n-1} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel{n} + \wurzel{n-1}} = 0[/mm]
Bei dem letzten Schritt bin ich mir nicht sicher, ob nicht ein oder zwei Zwischenschritte fehlen.
Ist es so korrekt, oder fehlt etwas?
Zu 2:
Sandwich-Lemma:
[mm]\bruch{3n^2}{\sqrt[3]{n^6} } = \bruch{3n^2}{n^2} = 3 \leq \bruch{3n^2+4n}{\sqrt[3]{n^6+n^4+1} } \leq \bruch{3n}{\sqrt[3]{n^3} } = \bruch{3n}{n} = 3[/mm]
Bei dem Abschätzen tue ich mir immer schwer.
Wie geht Ihr da immer ran, denn die obere und untere Grenz müssen ja bekannt konvergent sein und bei den Grenzen die ich sonst finde, weiß ich nicht genau, ob bekannt ist das diese konvergieren.
Zu 3:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1- \wurzel{1-\bruch{1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}} = \bruch{1-1}{1} = 0[/mm]
Zu 4:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} 1+(-\bruch{3}{5})^n = 1 + 0 = 1[/mm]
Die gegebene Folge sieht wie die Folge der Reihenglieder einer geometrischen Reihe aus und die konvergiert für [mm]|q| = \bruch{3}{5} < 1[/mm].
Ansonsten wüsste ich nicht wie ich da etwas erklären sollte, aber so ist es doch zu kurz?
Zu 5 und 6:
Ich weiß, dass das hier gilt:[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n})^n = e[/mm]
Aber wie übertrage ich das auf die Folgen 5 und 6?
Könnt Ihr mir bitte einen Tipp geben?
Zu 7:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2n+(-1)^n}{n} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2+\bruch{(-1)^n}{n}}{1} = \limes_{n\rightarrow\infty} 2+\bruch{(-1)^n}{n} = 2 + 0 = 2[/mm]
WolframAlpha sagt aber -2.
Wo ist mein Fehler?
Zu 8:
Nebenrechnung:
[mm]n(1-\wurzel{1+\bruch{4}{n}}) = n - n*\wurzel{1+\bruch{4}{n}}= n - n*\wurzel{1+\bruch{4}{n}}*\bruch{n + n*\wurzel{1+\bruch{4}{n}}}{n + n*\wurzel{1+\bruch{4}{n}}} [/mm]
[mm] n - n*\wurzel{1+\bruch{4}{n}}*\bruch{n + n*\wurzel{1+\bruch{4}{n}}}{n + n*\wurzel{1+\bruch{4}{n}}} = \bruch{n^2-n^2*(1+\bruch{4}{n})}{n + n*\wurzel{1+\bruch{4}{n}}}= \bruch{n^2-n^2-4n}{n + n*\wurzel{1+\bruch{4}{n}}} =\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{-4}{1+\wurzel{1+\bruch{4}{n}}}[/mm]
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n(1-\wurzel{1+\bruch{4}{n}}) = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{-4}{1+\wurzel{1+\bruch{4}{n}}} = \bruch{-4}{1+1} = -2[/mm]
Zu 9:
Hier ist die einzige Möglichkeit wieder nur das Sandwich-Lemma?
[mm] \sqrt[n]{\bruch{n^2}{n^3}} = \sqrt[n]{\bruch{1}{n}} \leq \sqrt[n]{\bruch{n^2+n+2}{n^3+1}} \leq 1[/mm] mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{a} = 1[/mm] für [mm]a > 0[/mm] aus der Vorlesung.
Zu 10:
[mm]1 \leq \sqrt[n]{\bruch{4^n+1}{n}} \leq \sqrt[n]{4^n} [/mm] mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{a} = 1[/mm] für [mm]a > 0[/mm] aus der Vorlesung.
Muss ich immer bei der n-ten Wurzel die Konvergenz mit dem Sandwich-Lemma nachweisen? Gibt es keine andere Möglichkeit? Ich tue mir dabei etwas schwer..
Zu 11:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n^2+8n+17} = \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n^2} = \limes_{n\rightarrow\infty} n = \infty[/mm]
Jetzt kann ich aber nicht behaupten, dass die Wurzel gegen n geht und sich dann durch -n auflöst und -1 übrig bleibt, oder?
Wie soll ich hier rangehen?
WolframAlpha sagt sie divergiert..
Habt ihr die Divergenz sofort gesehen?
Wenn ja, wie?
Vielen lieben Dank für jede Hilfe :)
Liebe Grüße,
Lisa
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:13 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lisa!
> Man berechne im Konvergenzfall den Grenzwert der Folge [mm]a_n[/mm],
> wobei
> [mm]a_n[/mm] einen der folgenden Werte hat:
>
> 1. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n} - \wurzel{n-1}[/mm]
>
> 2. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3n^2+4n}{\sqrt[3]{n^6+n^4+1} }[/mm]
>
> 3. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}}[/mm]
>
> 4. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} 1+(-\bruch{3}{5})^n[/mm]
>
> 5. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n^2})^n[/mm]
>
> 6. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n^2})^n^2[/mm]
>
> 7. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2n+(-1)^n}{n}[/mm]
>
> 8. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n(1-\wurzel{1+\bruch{4}{n}})[/mm]
>
> 9. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\bruch{n^2+n+2}{n^3+1}}[/mm]
>
> 10. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\bruch{4^n+1}{n}}[/mm]
>
> 11. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n^2+8n+17}-n-1[/mm]
>
>
> Gute Nacht :)
>
> Ich hoffe Ihr könnt kurz über meine Ansätze
> rüberschauen und mir sagen, was falsch oder richtig ist
> und falls es falsch ist, mir bitte einen Tipp geben.
>
> Zu 1:
>
> Nebenrechnung:
> [mm]\wurzel{n} - \wurzel{n-1} = \wurzel{n} - \wurzel{n-1} * \bruch{ \wurzel{n} + \wurzel{n-1} }{ \wurzel{n} + \wurzel{n-1} } = \bruch{n-(n-1)}{\wurzel{n} + \wurzel{n-1}} = \bruch{1}{\wurzel{n} + \wurzel{n-1}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n} - \wurzel{n-1} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel{n} + \wurzel{n-1}} = 0[/mm]
>
> Bei dem letzten Schritt bin ich mir nicht sicher, ob nicht
> ein oder zwei Zwischenschritte fehlen.
> Ist es so korrekt, oder fehlt etwas?
Das ist okay; wenn Du's "ganz penibel" machen willst, kannst Du auch
noch
$$0 [mm] \le \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} \le \frac{1}{\sqrt{n}}$$
[/mm]
hinschreiben, um
$$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel{n} + \wurzel{n-1}}=0$$
[/mm]
mit dem Sandwich-Lemma zu begründen. Aber das musst Du nicht.
(Man kann auch einfach erwähnen, dass ja [mm] $1/a_n \to [/mm] 0$ bei [mm] $|a_n| \to \infty$ [/mm] gilt,
und dass bei Dir halt [mm] $a_n=\sqrt{n}+\sqrt{n+1} \to \infty$ [/mm] gilt.)
Aber in der Klausur würde ich Dir da volle Punktzahl geben, weil man ja
auch nun nicht immer wieder bei Adam und Eva anfangen muss, und ihr
das von mir nun zusätzlich nochmal erwähnte eh schon öfters mal
angewendet und verinnerlicht habt.
P.S. Mir ist das nun zu viel, alle diese Aufgaben durchzugehen, je nach
Zeit, Lust und Laune werde ich ab und an mir die ein oder andere Aufgabe
nochmal angucken. Es wäre besser, Du hättest die Aufgaben separiert
gestellt - oder wenigstens im 2er- oder 3er-Pack!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:35 Fr 18.01.2013 | | Autor: | LisaWeide |
> Hallo Lisa!
>
> > Man berechne im Konvergenzfall den Grenzwert der Folge [mm]a_n[/mm],
> > wobei
> > [mm]a_n[/mm] einen der folgenden Werte hat:
> >
> > 1. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n} - \wurzel{n-1}[/mm]
>
> >
> > 2. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3n^2+4n}{\sqrt[3]{n^6+n^4+1} }[/mm]
>
> >
> > 3. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}}[/mm]
>
> >
> > 4. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} 1+(-\bruch{3}{5})^n[/mm]
> >
> > 5. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n^2})^n[/mm]
> >
> > 6. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n^2})^n^2[/mm]
> >
> > 7. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2n+(-1)^n}{n}[/mm]
> >
> > 8. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n(1-\wurzel{1+\bruch{4}{n}})[/mm]
>
> >
> > 9. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\bruch{n^2+n+2}{n^3+1}}[/mm]
>
> >
> > 10. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\bruch{4^n+1}{n}}[/mm]
>
> >
> > 11. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n^2+8n+17}-n-1[/mm]
> >
> >
> > Gute Nacht :)
> >
> > Ich hoffe Ihr könnt kurz über meine Ansätze
> > rüberschauen und mir sagen, was falsch oder richtig ist
> > und falls es falsch ist, mir bitte einen Tipp geben.
> >
> > Zu 1:
> >
> > Nebenrechnung:
> > [mm]\wurzel{n} - \wurzel{n-1} = \wurzel{n} - \wurzel{n-1} * \bruch{ \wurzel{n} + \wurzel{n-1} }{ \wurzel{n} + \wurzel{n-1} } = \bruch{n-(n-1)}{\wurzel{n} + \wurzel{n-1}} = \bruch{1}{\wurzel{n} + \wurzel{n-1}}[/mm]
>
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n} - \wurzel{n-1} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel{n} + \wurzel{n-1}} = 0[/mm]
>
> >
> > Bei dem letzten Schritt bin ich mir nicht sicher, ob nicht
> > ein oder zwei Zwischenschritte fehlen.
> > Ist es so korrekt, oder fehlt etwas?
>
> Das ist okay; wenn Du's "ganz penibel" machen willst,
> kannst Du auch
> noch
> [mm]0 \le \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} \le \frac{1}{\sqrt{n}}[/mm]
>
> hinschreiben, um
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel{n} + \wurzel{n-1}}=0[/mm]
>
> mit dem Sandwich-Lemma zu begründen. Aber das musst Du
> nicht.
> (Man kann auch einfach erwähnen, dass ja [mm]1/a_n \to 0[/mm] bei
> [mm]|a_n| \to \infty[/mm] gilt,
> und dass bei Dir halt [mm]a_n=\sqrt{n}+\sqrt{n+1} \to \infty[/mm]
> gilt.)
>
> Aber in der Klausur würde ich Dir da volle Punktzahl
> geben, weil man ja
> auch nun nicht immer wieder bei Adam und Eva anfangen muss,
> und ihr
> das von mir nun zusätzlich nochmal erwähnte eh schon
> öfters mal
> angewendet und verinnerlicht habt.
Okay, habe ich alles verstanden, danke :)
> P.S. Mir ist das nun zu viel, alle diese Aufgaben
> durchzugehen, je nach
> Zeit, Lust und Laune werde ich ab und an mir die ein oder
> andere Aufgabe
> nochmal angucken. Es wäre besser, Du hättest die
> Aufgaben separiert
> gestellt - oder wenigstens im 2er- oder 3er-Pack!
Oh, tut mir Leid. Ich war mir nicht sicher, ob es dann geheißen hätte "warum postest du das nicht einem Thread, das gehört doch zu einer Aufgabe".
Aber ich werde es mir jetzt merken, sorry.
Gruß,
Lisa
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:50 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lisa,
> > P.S. Mir ist das nun zu viel, alle diese Aufgaben
> > durchzugehen, je nach
> > Zeit, Lust und Laune werde ich ab und an mir die ein oder
> > andere Aufgabe
> > nochmal angucken. Es wäre besser, Du hättest die
> > Aufgaben separiert
> > gestellt - oder wenigstens im 2er- oder 3er-Pack!
>
> Oh, tut mir Leid. Ich war mir nicht sicher, ob es dann
> geheißen hätte "warum postest du das nicht einem Thread,
> das gehört doch zu einer Aufgabe".
> Aber ich werde es mir jetzt merken, sorry.
na, hier gibt's doch keine Aufgabe, die einen anderen Aufgabenteil bzw.
das Ergebnis eines anderen Aufgabenteils benötigt. Das ganze in 11
Fragen zu stellen, fände ich wiederum ein wenig übertrieben, weil die
Aufgaben auch relativ einfach zu lösen sind, aber, wie gesagt: Zu viele
Aufgaben in einer Frage: Dann verlierst auch Du bei den Antworten den
Überblick.
So Pi-Mal-Daumen kann man sagen: Wenn man mehr als 5 Aufgaben in
einer Frage hat, die nicht miteinander zusammenhängen, dann sind das
zu viele. Aber eigentlich sollte man sich spätestens schon nach drei
solcher Aufgaben mal Gedanken machen, ob man nicht lieber eine neue
Frage eröffnet.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich würde kurz mal über die Aufgaben ab 2) einen Blick werfen, zu 1) hast du ja von Marcel schon eine ausführliche Antwort erhalten.
> Zu 2:
>
> Sandwich-Lemma:
Braucht man hier nicht.
>
> [mm]\bruch{3n^2}{\sqrt[3]{n^6} } = \bruch{3n^2}{n^2} = 3 \leq \bruch{3n^2+4n}{\sqrt[3]{n^6+n^4+1} } \leq \bruch{3n}{\sqrt[3]{n^3} } = \bruch{3n}{n} = 3[/mm]
>
Nach der zweiten Gleichheit bist du fertig: der Term ist nämlich konstant gleich 3.
> Bei dem Abschätzen tue ich mir immer schwer.
> Wie geht Ihr da immer ran, denn die obere und untere Grenz
> müssen ja bekannt konvergent sein und bei den Grenzen die
> ich sonst finde, weiß ich nicht genau, ob bekannt ist das
> diese konvergieren.
Wie gesagt, diese Abschätzung ist an dieser Stelle völlig sinnfrei. Ganz nebenbei ist sie aber auch falsch. Will man einen Bruch nach oben abschätzen, muss man den Zähler vergrößern und/oder den Nenner verkleinern.
> Zu 3:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1- \wurzel{1-\bruch{1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}} = \bruch{1-1}{1} = 0[/mm]
Das ist schlicht falsch. Zerlege hier den Nenner mit Hilfe der 3. binomischen Formel. Dann kann man kürzen und den Grenzwert hernach auswerten.
>
> Zu 4:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} 1+(-\bruch{3}{5})^n = 1 + 0 = 1[/mm]
>
> Die gegebene Folge sieht wie die Folge der Reihenglieder
> einer geometrischen Reihe aus und die konvergiert für [mm]|q| = \bruch{3}{5} < 1[/mm].
>
> Ansonsten wüsste ich nicht wie ich da etwas erklären
> sollte, aber so ist es doch zu kurz?
Das Ergebnis ist richtig, die Erklärung verquer. Für [mm] n->\infty [/mm] strebt [mm] \left(-\bruch{3}{5}\right)^n [/mm] gegen Null und fertig.
> Zu 5 und 6:
>
> Ich weiß, dass das hier gilt:[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n})^n = e[/mm]
>
>
> Aber wie übertrage ich das auf die Folgen 5 und 6?
> Könnt Ihr mir bitte einen Tipp geben?
Fangen wir mit der 6) an, die ist leichter. Erstze hier etwa [mm] m=n^2 [/mm] dann steht der Grenzwert im Prinzip da. Bei 5) kommt 1 heraus, aber da fällt mir außer der Tatsache, dass
[mm]e^x=\limes_{n\rightarrow\infty} \left (1+\bruch{x}{n} \right )^n[/mm]
auch keine Herleitgunmg ein, und obige Identität mit der e-Funktion darf vermutlich noch nicht verwendet werden. Es läuft auf eine Abschätzung heraus, wenn mir noch eine einfällt lasse ich es dich wissen.
>
> Zu 7:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2n+(-1)^n}{n} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2+\bruch{(-1)^n}{n}}{1} = \limes_{n\rightarrow\infty} 2+\bruch{(-1)^n}{n} = 2 + 0 = 2[/mm]
>
> WolframAlpha sagt aber -2.
> Wo ist mein Fehler?
Du wirst es falsch abgetippt haben. Obiges ist jedenfalls - bis auf ein fehlendes Klammernpaar im letzten Grenzwert - richtig.
>
> Zu 8:
>
> Nebenrechnung:
>
> [mm]n(1-\wurzel{1+\bruch{4}{n}}) = n - n*\wurzel{1+\bruch{4}{n}}= n - n*\wurzel{1+\bruch{4}{n}}*\bruch{n + n*\wurzel{1+\bruch{4}{n}}}{n + n*\wurzel{1+\bruch{4}{n}}}[/mm]
>
> [mm]n - n*\wurzel{1+\bruch{4}{n}}*\bruch{n + n*\wurzel{1+\bruch{4}{n}}}{n + n*\wurzel{1+\bruch{4}{n}}} = \bruch{n^2-n^2*(1+\bruch{4}{n})}{n + n*\wurzel{1+\bruch{4}{n}}}= \bruch{n^2-n^2-4n}{n + n*\wurzel{1+\bruch{4}{n}}} =\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{-4}{1+\wurzel{1+\bruch{4}{n}}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n(1-\wurzel{1+\bruch{4}{n}}) = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{-4}{1+\wurzel{1+\bruch{4}{n}}} = \bruch{-4}{1+1} = -2[/mm]
Das sieht gut aus. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Zu 9:
>
> Hier ist die einzige Möglichkeit wieder nur das
> Sandwich-Lemma?
>
> [mm]\sqrt[n]{\bruch{n^2}{n^3}} = \sqrt[n]{\bruch{1}{n}} \leq \sqrt[n]{\bruch{n^2+n+2}{n^3+1}} \leq 1[/mm]
> mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{a} = 1[/mm] für [mm]a > 0[/mm]
> aus der Vorlesung.
Auch hier ist deine Abschätzung falsch. Außerdem wäre es - ob mit oder ohne Sandwich - günstiger,
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n}=1[/mm]
zu zeigen und deine Aufgabe darauf zurückzuführen. Vielleicht darf mein angegebener Grenzwert ja auch schon verwendet werden? In dem einzigen Analysis 1-Buch, das in meinem Besitz ist, wird er sehr früh bewiesen...
>
> Zu 10:
>
> [mm]1 \leq \sqrt[n]{\bruch{4^n+1}{n}} \leq \sqrt[n]{4^n}[/mm] mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{a} = 1[/mm] für [mm]a > 0[/mm] aus
> der Vorlesung.
>
> Muss ich immer bei der n-ten Wurzel die Konvergenz mit dem
> Sandwich-Lemma nachweisen? Gibt es keine andere
> Möglichkeit? Ich tue mir dabei etwas schwer..
Was kommt denn nun heraus, 1? Nee, das ist komplett falsch. Ziehe mal die [mm] 4^n [/mm] als Faktor vor die Wurzel, dann sollte es vollends leicht gehen.
>
> Zu 11:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n^2+8n+17} = \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n^2} = \limes_{n\rightarrow\infty} n = \infty[/mm]
>
> Jetzt kann ich aber nicht behaupten, dass die Wurzel gegen
> n geht und sich dann durch -n auflöst und -1 übrig
> bleibt, oder?
>
> Wie soll ich hier rangehen?
> WolframAlpha sagt sie divergiert..
> Habt ihr die Divergenz sofort gesehen?
> Wenn ja, wie?
Na ja, was du oben als ziemlich weit hergeholte (erste) Gleichheit schreibst, ist schon etwas, was man sich so denkt, wenn man die Aufgabe sieht. Ich würde sagen, wenn du das erste Gleichheitszeichen oben durch ein [mm] '\ge' [/mm] ersetzt, dann sieht das ganze sehr gut aus, insbesondere ist es ja richtig.
EDIT: nein, die 11 ist völlig falsch (verstanden). Siehe dazu den Beitrag von FRED.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Guten Morgen Diophant und herzlichsten Dank, dass du dir Zeit genommen hast :)
> Hallo,
>
> ich würde kurz mal über die Aufgaben ab 2) einen Blick
> werfen, zu 1) hast du ja von Marcel schon eine
> ausführliche Antwort erhalten.
>
> > Zu 2:
> >
> > Sandwich-Lemma:
>
> Braucht man hier nicht.
>
> >
> > [mm]\bruch{3n^2}{\sqrt[3]{n^6} } = \bruch{3n^2}{n^2} = 3 \leq \bruch{3n^2+4n}{\sqrt[3]{n^6+n^4+1} } \leq \bruch{3n}{\sqrt[3]{n^3} } = \bruch{3n}{n} = 3[/mm]
>
> >
>
> Nach der zweiten Gleichheit bist du fertig: der Term ist
> nämlich konstant gleich 3.
Also so:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3n^2+4n}{\sqrt[3]{n^6+n^4+1} } = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3n^2}{\sqrt[3]{n^6} } = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3n^2}{n^2} = 3[/mm]
Aber muss ich die erste Gleichheit nicht begründen?
> > Bei dem Abschätzen tue ich mir immer schwer.
> > Wie geht Ihr da immer ran, denn die obere und untere
> Grenz
> > müssen ja bekannt konvergent sein und bei den Grenzen die
> > ich sonst finde, weiß ich nicht genau, ob bekannt ist das
> > diese konvergieren.
>
> Wie gesagt, diese Abschätzung ist an dieser Stelle völlig
> sinnfrei. Ganz nebenbei ist sie aber auch falsch. Will man
> einen Bruch nach oben abschätzen, muss man den Zähler
> vergrößern und/oder den Nenner verkleinern.
Okay, dann muss ich das noch üben.
> > Zu 3:
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1- \wurzel{1-\bruch{1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}} = \bruch{1-1}{1} = 0[/mm]
>
> Das ist schlicht falsch.
Und warum ist das falsch?
> Zerlege hier den Nenner mit Hilfe
> der 3. binomischen Formel. Dann kann man kürzen und den
> Grenzwert hernach auswerten.
[mm] \bruch{1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}} = \bruch{1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}} * \bruch{1 + \bruch{n-1}{n}}{1+ \bruch{n-1}{n}} = \bruch{(1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}})*(1 + \bruch{n-1}{n})*n^2}{n^2-2n+1} [/mm]
Ist das soweit richtig?
Also so kann ich den Grenzwert noch immer nicht sehen.
> >
> > Zu 4:
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} 1+(-\bruch{3}{5})^n = 1 + 0 = 1[/mm]
>
> >
> > Die gegebene Folge sieht wie die Folge der Reihenglieder
> > einer geometrischen Reihe aus und die konvergiert für [mm]|q| = \bruch{3}{5} < 1[/mm].
>
> >
> > Ansonsten wüsste ich nicht wie ich da etwas erklären
> > sollte, aber so ist es doch zu kurz?
>
> Das Ergebnis ist richtig, die Erklärung verquer. Für
> [mm]n->\infty[/mm] strebt [mm]\left(-\bruch{3}{5}\right)^n[/mm] gegen Null
> und fertig.
Also einfach:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} 1+(-\bruch{3}{5})^n = 1 + 0 = 1[/mm]
>
> > Zu 5 und 6:
> >
> > Ich weiß, dass das hier gilt:[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n})^n = e[/mm]
>
> >
> >
> > Aber wie übertrage ich das auf die Folgen 5 und 6?
> > Könnt Ihr mir bitte einen Tipp geben?
>
> Fangen wir mit der 6) an, die ist leichter. Erstze hier
> etwa [mm]m=n^2[/mm] dann steht der Grenzwert im Prinzip da. Bei 5)
> kommt 1 heraus, aber da fällt mir außer der Tatsache,
> dass
>
> [mm]e^x=\limes_{n\rightarrow\infty} \left (1+\bruch{x}{n} \right )^n[/mm]
Das heißt, das n hat keine Auswirkung auf e?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n^2})^n^2 = e^1[/mm]
Denn [mm]x=1[/mm].
> > Zu 7:
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2n+(-1)^n}{n} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2+\bruch{(-1)^n}{n}}{1} = \limes_{n\rightarrow\infty} 2+\bruch{(-1)^n}{n} = 2 + 0 = 2[/mm]
>
> >
> > WolframAlpha sagt aber -2.
> > Wo ist mein Fehler?
>
> Du wirst es falsch abgetippt haben.
Du hast Recht :)
> Obiges ist jedenfalls -
> bis auf ein fehlendes Klammernpaar im letzten Grenzwert -
> richtig.
Sorry, aber ich sehe das fehlende Klammerpaar nicht?
> > Zu 9:
> >
> > Hier ist die einzige Möglichkeit wieder nur das
> > Sandwich-Lemma?
> >
> > [mm]\sqrt[n]{\bruch{n^2}{n^3}} = \sqrt[n]{\bruch{1}{n}} \leq \sqrt[n]{\bruch{n^2+n+2}{n^3+1}} \leq 1[/mm]
> > mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{a} = 1[/mm] für [mm]a > 0[/mm]
> > aus der Vorlesung.
>
> Auch hier ist deine Abschätzung falsch. Außerdem wäre es
> - ob mit oder ohne Sandwich - günstiger,
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n}=1[/mm]
>
> zu zeigen und deine Aufgabe darauf zurückzuführen.
> Vielleicht darf mein angegebener Grenzwert ja auch schon
> verwendet werden?
Ja, darf er.
Kannst du mir bei einer richtigen Abschätzung helfen?
Ich muss das doch für die Prüfung können. ![[knirsch]](/images/smileys/knirsch.gif "[knirsch]")
> > Zu 10:
> >
> > [mm]1 \leq \sqrt[n]{\bruch{4^n+1}{n}} \leq \sqrt[n]{4^n}[/mm] mit
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{a} = 1[/mm] für [mm]a > 0[/mm] aus
> > der Vorlesung.
> >
> > Muss ich immer bei der n-ten Wurzel die Konvergenz mit dem
> > Sandwich-Lemma nachweisen? Gibt es keine andere
> > Möglichkeit? Ich tue mir dabei etwas schwer..
>
> Was kommt denn nun heraus, 1? Nee, das ist komplett falsch.
> Ziehe mal die [mm]4^n[/mm] als Faktor vor die Wurzel, dann sollte es
> vollends leicht gehen.
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\bruch{4^n+1}{n}} = \limes_{n\rightarrow\infty} 4* \sqrt[n]{\bruch{1+\bruch{1}{n}}{n}} [/mm][mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\bruch{4^n+1}{n}} = \limes_{n\rightarrow\infty} 4* \sqrt[n]{\bruch{1+\bruch{1}{n}}{n}} = 4*1 = 4[/mm]
Reicht das so?
Oder muss ich noch die vorletzte Gleichheit erklären?
Wie gesagt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n} = 1[/mm] und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{a} = 1[/mm] dürfen wir verwenden, aber muss nicht dennoch etwas erklärt werden?
> > Zu 11:
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n^2+8n+17} = \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n^2} = \limes_{n\rightarrow\infty} n = \infty[/mm]
>
> >
> > Jetzt kann ich aber nicht behaupten, dass die Wurzel gegen
> > n geht und sich dann durch -n auflöst und -1 übrig
> > bleibt, oder?
> >
> > Wie soll ich hier rangehen?
> > WolframAlpha sagt sie divergiert..
> > Habt ihr die Divergenz sofort gesehen?
> > Wenn ja, wie?
>
> Na ja, was du oben als ziemlich weit hergeholte (erste)
> Gleichheit schreibst, ist schon etwas, was man sich so
> denkt, wenn man die Aufgabe sieht. Ich würde sagen, wenn
> du das erste Gleichheitszeichen oben durch ein [mm]'\ge'[/mm]
> ersetzt, dann sieht das ganze sehr gut aus, insbesondere
> ist es ja richtig.
Aber was ist mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n^2+8n+17}\red{-n-1}[/mm]. Die beiden habe ich in der Ungleichung gar nicht mehr drin?
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n^2+8n+17}\red{-n-1} < \limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n^2+8n+17} < \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n^2} = \limes_{n\rightarrow\infty} n = \infty[/mm]
Muss ich die erste Ungleichung nicht beweisen?
Vollständige Induktion zum Beispiel?
Vielen Dank nochmal Diophant :)
Gruß,
Lisa
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:50 Fr 18.01.2013 | | Autor: | fred97 |
Hast Du nicht gelesen, was ich Dir geschrieben habe ?
https://matheraum.de/read?i=943734
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:00 Fr 18.01.2013 | | Autor: | LisaWeide |
> Hast Du nicht gelesen, was ich Dir geschrieben habe ?
>
> https://matheraum.de/read?i=943734
>
Als ich angefangen hatte die Antwort zu schreiben war deine Antwort noch nicht da.
Tut mir Leid, ich habe da jetzt geantwortet.
Gruß,
Lisa
|
|
|
| |
|
Hallo,
sorry, aber da bin ich mit meiner vorigen Antwort teilweise ziemlich danebengelegen, weil ich ehrlich gesagt den Überblick verloren habe. Du bearbeitest 11 Grenzwerte in einem Thread, und deine Rechnungen beinhalten die eigentliche Aufgabe nicht mehr. Ok, ich hätte das sehen müssen, aber die Vorgehensweise ist ehrlich gesagt nicht konstruktiv. Bearbeite eine, oder auch zwei solcher Grenzwerte lieber gründlich und mache dir dann mal klar, welche Erkenntnisse sich daraus jeweils gewinnen lassen. Das würde dir sicherlich dann auch viele Nachfragen ersparen,. weil du es dqann selbst hinbekommst (und das ist, so ganz nebenbei gesagt, so ziemlich das oberste Ziel dieses Forums, was man ja auch schon am Vereinsnamen vorhilfe.de ablesen kann).
Ich versuche mal, meine Fehler auzuzeigen.
Bei Aufgabe 2) benötigt man das Sandwich-Lemma nicht (das ist viel zu umständlich). Es gilt, zu faktorisieren: Klammere im Zähler [mm] n^2 [/mm] aus und hole im Nenner das [mm] n^6 [/mm] aus der Wurzel, dann folgt der Grenzwert 3 unmittelbar.
Zu Aufgabe 3)
Weshalb es falsch ist? Finde es selbst heraus, das ist Mittelschulstoff! Meinen vorgeschlagenen Lösungansatz behalte ich hier bei.
Aufgabe 4) hast du jetzt richtig.
Aufgabe 5): wie gesagt, außer dem Weg über die Exponentailfunktion ist mir bisher noch kein Weg eingefallen. Meine Frage, ob du die Exponentialfunktion verwenden darfst, hast du aber nicht beantwortet und den Sinn deiner Rückfrage
> Das heißt, das n hat keine Auswirkung auf e?
hier verstehe ich nicht.
Aufgabe 6: Ergebnis richtig, Begründung verwendet jetzt plötzlich (unnötigerweise) die Exponentialfunktion. Darf man sie also doch verwenden?
Aufgabe 7: auch richtig gerewchnet, aber falsch geschrieben. Eine Summe oder Differenz, sowie auch ein Produkt, von welchen ein Grenzwert bestimmt werden soll, müssen geklammert werden, also es muss bspw. am Ende
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left ( 2+\bruch{(-1)^n}{n} \right )=2[/mm]
heißen.
Aufgabe 8) war ja richtig.
Aufgabe 9):
Wenn du auf der linken Seite deines Sandwiches
[mm]\wurzel[n]{\bruch{1}{2n}}[/mm]
verwendest, dann passt die Abschätzung. Da die rechte stimmt, folgt also hier der Grenzwert 1.
Aufgabe 10):
Hier ist deine Rechnung völliger Unsinn, das Ergebnis stimmt aber. Das lässt den Verdacht aufkommen, dass du erst gar nicht mit Papier und Stift rechnest, sondern deine Rechnungen gleich eintippst. Das macht es unheimlich schwer, zielführend zu helfen.
Aufgabe 11):
Die hat dankenswerterweise FRED geklärt.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
>
>
> Hallo,
>
> sorry, aber da bin ich mit meiner vorigen Antwort teilweise
> ziemlich danebengelegen, weil ich ehrlich gesagt den
> Überblick verloren habe. Du bearbeitest 11 Grenzwerte in
> einem Thread, und deine Rechnungen beinhalten die
> eigentliche Aufgabe nicht mehr. Ok, ich hätte das sehen
> müssen, aber die Vorgehensweise ist ehrlich gesagt nicht
> konstruktiv. Bearbeite eine, oder auch zwei solcher
> Grenzwerte lieber gründlich und mache dir dann mal klar,
> welche Erkenntnisse sich daraus jeweils gewinnen lassen.
> Das würde dir sicherlich dann auch viele Nachfragen
> ersparen,. weil du es dqann selbst hinbekommst (und das
> ist, so ganz nebenbei gesagt, so ziemlich das oberste Ziel
> dieses Forums, was man ja auch schon am Vereinsnamen
> vorhilfe.de ablesen kann).
Okay, tut mir Leid.
Nächstes mal mache ich es besser.
> Ich versuche mal, meine Fehler auzuzeigen.
>
> Bei Aufgabe 2) benötigt man das Sandwich-Lemma nicht (das
> ist viel zu umständlich). Es gilt, zu faktorisieren:
> Klammere im Zähler [mm]n^2[/mm] aus und hole im Nenner das [mm]n^6[/mm] aus
> der Wurzel, dann folgt der Grenzwert 3 unmittelbar.
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3n^2+4n}{\sqrt[3]{n^6+n^4+1} } = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3n^2+4n}{n^2*\sqrt[3]{1+\bruch{1}{n^2}+\bruch{1}{n^6}} } = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3+\bruch{4}{n}}{\sqrt[3]{1+\bruch{1}{n^2}+\bruch{1}{n^6}} } = \bruch{3}{1} = 3[/mm]
> Zu Aufgabe 3)
> Weshalb es falsch ist? Finde es selbst heraus, das ist
> Mittelschulstoff! Meinen vorgeschlagenen Lösungansatz
> behalte ich hier bei.
Mein alter Ansatz:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1- \wurzel{1-\bruch{1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}} = \bruch{1-1}{1} = 0[/mm]
Das ist glaube ich mein Hauptproblem, wenn es mehrere Grenzwerte gibt.
Also hier strebt einmal im Zähler n gegen unendlich und im Nenner auch.
Das habe ich in der Schule dann wohl falsch verstanden.
Kannst du mir bitte helfen, oder mir einen Link dazu geben?
Oder der Grenzwert von [mm] \bruch{2^n}{n} [/mm] mit n gegen unendlich.
Ich weiß, dass der Zähler schneller wächst als der Nenner, aber das ist doch keine Begründung, oder?
> Aufgabe 5): wie gesagt, außer dem Weg über die
> Exponentailfunktion ist mir bisher noch kein Weg
> eingefallen. Meine Frage, ob du die Exponentialfunktion
> verwenden darfst, hast du aber nicht beantwortet
Ich habe es nicht in meinem Skript gefunden, daher wird es wohl nicht in der Prüfung drankommen.
Ich lass deshalb 5 und 6 mal aus.
> Aufgabe 9):
> Wenn du auf der linken Seite deines Sandwiches
>
> [mm]\wurzel[n]{\bruch{1}{2n}}[/mm]
>
> verwendest, dann passt die Abschätzung. Da die rechte
> stimmt, folgt also hier der Grenzwert 1.
[mm]\sqrt[n]{\bruch{1}{2n}} \leq \sqrt[n]{\bruch{n^2}{n^3}} = \sqrt[n]{\bruch{1}{n}} \leq \sqrt[n]{\bruch{n^2+n+2}{n^3+1}} \leq 1[/mm]
Ist es schlimm, das für n = 1 [mm] \sqrt[n]{\bruch{n^2+n+2}{n^3+1}} > 1[/mm] gilt?
> Aufgabe 10):
> Hier ist deine Rechnung völliger Unsinn, das Ergebnis
> stimmt aber. Das lässt den Verdacht aufkommen, dass du
> erst gar nicht mit Papier und Stift rechnest, sondern deine
> Rechnungen gleich eintippst. Das macht es unheimlich
> schwer, zielführend zu helfen.
Warum ist das völliger Unsinn? Da steht nur ausversehen zwei mal das gleiche.
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\bruch{4^n+1}{n}} = \limes_{n\rightarrow\infty} 4\cdot{} \sqrt[n]{\bruch{1+\bruch{1}{n}}{n}} = 4 * 1 = 4[/mm]
Vielen Dank nochmal Dophiant und sorry, dass ich so ein schwerer Fall bin ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Gruß,
Lisa
|
|
|
| |
|
Hallo,
> > Zu Aufgabe 3)
> > Weshalb es falsch ist? Finde es selbst heraus, das ist
> > Mittelschulstoff! Meinen vorgeschlagenen Lösungansatz
> > behalte ich hier bei.
>
> Mein alter Ansatz:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1- \wurzel{1-\bruch{1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}} = \bruch{1-1}{1} = 0[/mm]
>
> Das ist glaube ich mein Hauptproblem, wenn es mehrere
> Grenzwerte gibt.
> Also hier strebt einmal im Zähler n gegen unendlich und
> im Nenner auch.
> Das habe ich in der Schule dann wohl falsch verstanden.
> Kannst du mir bitte helfen, oder mir einen Link dazu
> geben?
Es gibt hier nicht mehrere Grenzwerte, sondern wie du sagst, n strebt gegen [mm] \infty. [/mm] Dabei streben aber sowohl der Zähler als auch der Nenner des Bruches gegen Null, so dass ein undefinierter Term der Form 0/0 entsteht. Wie dem abzuhelfen ist, nämlich mit der 3. binomischen Formel, habe ich dir doch schon gesagt. Weshalb versuchst du es nicht einfach mal? Man muss den Nenner geeignet faktorisieren...
>
> Oder der Grenzwert von [mm]\bruch{2^n}{n}[/mm] mit n gegen
> unendlich.
> Ich weiß, dass der Zähler schneller wächst als der
> Nenner, aber das ist doch keine Begründung, oder?
Wo kommt das jetzt plötzlich her? Man beweist es mit vollständiger Induktion aber weshalb bringst du jetzt hier noch mehr Konfusion herein?
> > Aufgabe 5): wie gesagt, außer dem Weg über die
> > Exponentailfunktion ist mir bisher noch kein Weg
> > eingefallen. Meine Frage, ob du die Exponentialfunktion
> > verwenden darfst, hast du aber nicht beantwortet
>
> Ich habe es nicht in meinem Skript gefunden, daher wird es
> wohl nicht in der Prüfung drankommen.
> Ich lass deshalb 5 und 6 mal aus.
Wie gesagt, bei 6) war dein Ergebnis (g=1) richtig, nur deine verbale Begründung war Unsinn. Nicht so schnell aufgeben, sondern überlegen, weshalb!
> > Aufgabe 9):
> > Wenn du auf der linken Seite deines Sandwiches
> >
> > [mm]\wurzel[n]{\bruch{1}{2n}}[/mm]
> >
> > verwendest, dann passt die Abschätzung. Da die rechte
> > stimmt, folgt also hier der Grenzwert 1.
>
>
> [mm]\sqrt[n]{\bruch{1}{2n}} \leq \sqrt[n]{\bruch{n^2}{n^3}} = \sqrt[n]{\bruch{1}{n}} \leq \sqrt[n]{\bruch{n^2+n+2}{n^3+1}} \leq 1[/mm]
>
> Ist es schlimm, das für n = 1
> [mm]\sqrt[n]{\bruch{n^2+n+2}{n^3+1}} > 1[/mm] gilt?
>
Das habe ich übersehen. Aber nein, schlimm ist es nicht, man muss dann nur angeben, ab welchem [mm] N\in\IN [/mm] die Abschätzung gilt. Wenn sie für fast alle n gilt, dann ist sie geeignet.
>
> > Aufgabe 10):
> > Hier ist deine Rechnung völliger Unsinn, das Ergebnis
> > stimmt aber. Das lässt den Verdacht aufkommen, dass du
> > erst gar nicht mit Papier und Stift rechnest, sondern deine
> > Rechnungen gleich eintippst. Das macht es unheimlich
> > schwer, zielführend zu helfen.
>
> Warum ist das völliger Unsinn? Da steht nur ausversehen
> zwei mal das gleiche.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\bruch{4^n+1}{n}} = \limes_{n\rightarrow\infty} 4\cdot{} \sqrt[n]{\bruch{1+\bruch{1}{n}}{n}} = 4 * 1 = 4[/mm]
>
Wie bitteschön kommst du auf die 1/n im Zähler? Und wenn für dich 'aus Versehen zweimal das Gleiche' dasteht, dann ist das u.U. für jemand, der das liest, Unsinn. Dann musst du einafach als Fragestellerin mehr Sorgfalt walten lassen.
> Vielen Dank nochmal Dophiant und sorry, dass ich so ein
> schwerer Fall bin
Wie sagte einst Bismarck: solche Tiere jibbt et nich 
Gruß, Diophant
PS: oben steht ja eine originelle Abweichung meines Nicknames (fast so, als ob du mich des Dopings bezichtigen würdest  ). Dieser aber ist eine Hommage an den griechischen Kaufmann und Mathematiker ![[]](/images/popup.gif) Diophantos von Alexandrien
|
|
|
| |
|
Hallo Diophant
> Hallo,
>
> > > Zu Aufgabe 3)
> > > Weshalb es falsch ist? Finde es selbst heraus, das ist
> > > Mittelschulstoff! Meinen vorgeschlagenen Lösungansatz
> > > behalte ich hier bei.
> >
> > Mein alter Ansatz:
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1- \wurzel{1-\bruch{1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}} = \bruch{1-1}{1} = 0[/mm]
>
> >
> > Das ist glaube ich mein Hauptproblem, wenn es mehrere
> > Grenzwerte gibt.
> > Also hier strebt einmal im Zähler n gegen unendlich und
> > im Nenner auch.
> > Das habe ich in der Schule dann wohl falsch verstanden.
> > Kannst du mir bitte helfen, oder mir einen Link dazu
> > geben?
>
> Es gibt hier nicht mehrere Grenzwerte, sondern wie du
> sagst, n strebt gegen [mm]\infty.[/mm] Dabei streben aber sowohl der
> Zähler als auch der Nenner des Bruches gegen Null, so dass
> ein undefinierter Term der Form 0/0 entsteht. Wie dem
> abzuhelfen ist, nämlich mit der 3. binomischen Formel,
> habe ich dir doch schon gesagt. Weshalb versuchst du es
> nicht einfach mal? Man muss den Nenner geeignet
> faktorisieren...
Ich hatte es in der vorletzten Antwort probiert:
[mm]\bruch{1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}} = \bruch{1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}} \cdot{} \bruch{1 + \bruch{n-1}{n}}{1+ \bruch{n-1}{n}} = \bruch{(1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}})\cdot{}(1 + \bruch{n-1}{n})\cdot{}n^2}{n^2-2n+1}[/mm]
Hier wusste ich aber nicht, wie ich weitermachen soll.
> > Oder der Grenzwert von [mm]\bruch{2^n}{n}[/mm] mit n gegen
> > unendlich.
> > Ich weiß, dass der Zähler schneller wächst als der
> > Nenner, aber das ist doch keine Begründung, oder?
>
> Wo kommt das jetzt plötzlich her? Man beweist es mit
> vollständiger Induktion aber weshalb bringst du jetzt hier
> noch mehr Konfusion herein?
Tut mir Leid.
> > > Aufgabe 10):
> > > Hier ist deine Rechnung völliger Unsinn, das Ergebnis
> > > stimmt aber. Das lässt den Verdacht aufkommen, dass du
> > > erst gar nicht mit Papier und Stift rechnest, sondern deine
> > > Rechnungen gleich eintippst. Das macht es unheimlich
> > > schwer, zielführend zu helfen.
> >
> > Warum ist das völliger Unsinn? Da steht nur ausversehen
> > zwei mal das gleiche.
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\bruch{4^n+1}{n}} = \limes_{n\rightarrow\infty} 4\cdot{} \sqrt[n]{\bruch{1+\bruch{1}{n}}{n}} = 4 * 1 = 4[/mm]
>
> >
>
> Wie bitteschön kommst du auf die 1/n im Zähler? Und wenn
> für dich 'aus Versehen zweimal das Gleiche' dasteht, dann
> ist das u.U. für jemand, der das liest, Unsinn. Dann musst
> du einafach als Fragestellerin mehr Sorgfalt walten
> lassen.
Sorry, ich meinte es so:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\bruch{4^n+1}{n}} = \limes_{n\rightarrow\infty} 4\cdot{} \sqrt[n]{\bruch{1+\bruch{1}{4^n}}{n}} = 4 * 1 = 4[/mm]
> > Vielen Dank nochmal Dophiant und sorry, dass ich so ein
> > schwerer Fall bin
>
> Wie sagte einst Bismarck: solche Tiere jibbt et nich
:)
> Gruß, Diophant
>
> PS: oben steht ja eine originelle Abweichung meines
> Nicknames (fast so, als ob du mich des Dopings bezichtigen
> würdest ). Dieser aber ist eine Hommage an den
> griechischen Kaufmann und Mathematiker
> Diophantos von Alexandrien
Oh, nochmal sorry :P
Liebe Grüße,
Lisa
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ich hatte es in der vorletzten Antwort probiert:
>
> [mm]\bruch{1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}} = \bruch{1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}} \cdot{} \bruch{1 + \bruch{n-1}{n}}{1+ \bruch{n-1}{n}} = \bruch{(1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}})\cdot{}(1 + \bruch{n-1}{n})\cdot{}n^2}{n^2-2n+1}[/mm]
>
> Hier wusste ich aber nicht, wie ich weitermachen soll.
Und ich hatte dir jetzt schon mehrfach geraten, den Nenner des Bruches mit Hilfe der 3. binomischen Formel zu faktorisieren. Das sieht so aus:
[mm]1-\bruch{n-1}{n}=\left (1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}} \right )*\left (1+\wurzel{\bruch{n-1}{n}} \right )[/mm]
Diesen Trick solltest du fest in dein Repertoire einbauen. Siehst du, wie er dir weiterhilft?
>
> > > > Aufgabe 10):
> > > > Hier ist deine Rechnung völliger Unsinn, das
> Ergebnis
> > > > stimmt aber. Das lässt den Verdacht aufkommen, dass du
> > > > erst gar nicht mit Papier und Stift rechnest, sondern deine
> > > > Rechnungen gleich eintippst. Das macht es unheimlich
> > > > schwer, zielführend zu helfen.
> > >
> > > Warum ist das völliger Unsinn? Da steht nur ausversehen
> > > zwei mal das gleiche.
> > >
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\bruch{4^n+1}{n}} = \limes_{n\rightarrow\infty} 4\cdot{} \sqrt[n]{\bruch{1+\bruch{1}{n}}{n}} = 4 * 1 = 4[/mm]
>
> >
> > >
> >
> > Wie bitteschön kommst du auf die 1/n im Zähler? Und wenn
> > für dich 'aus Versehen zweimal das Gleiche' dasteht, dann
> > ist das u.U. für jemand, der das liest, Unsinn. Dann musst
> > du einafach als Fragestellerin mehr Sorgfalt walten
> > lassen.
>
> Sorry, ich meinte es so:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\bruch{4^n+1}{n}} = \limes_{n\rightarrow\infty} 4\cdot{} \sqrt[n]{\bruch{1+\bruch{1}{4^n}}{n}} = 4 * 1 = 4[/mm]
>
Ja, das ist jetzt auch richtig. Aber ich würde da noch
[mm] \bruch{1}{4^n}=4^{-n}
[/mm]
setzen, dann sieht es übersichtlicher aus.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hallo :)
> Hallo,
>
> > Ich hatte es in der vorletzten Antwort probiert:
> >
> > [mm]\bruch{1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}} = \bruch{1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}} \cdot{} \bruch{1 + \bruch{n-1}{n}}{1+ \bruch{n-1}{n}} = \bruch{(1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}})\cdot{}(1 + \bruch{n-1}{n})\cdot{}n^2}{n^2-2n+1}[/mm]
>
> >
> > Hier wusste ich aber nicht, wie ich weitermachen soll.
>
> Und ich hatte dir jetzt schon mehrfach geraten, den Nenner
> des Bruches mit Hilfe der 3. binomischen Formel zu
> faktorisieren. Das sieht so aus:
>
> [mm]1-\bruch{n-1}{n}=\left (1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}} \right )*\left (1+\wurzel{\bruch{n-1}{n}} \right )[/mm]
>
> Diesen Trick solltest du fest in dein Repertoire einbauen.
> Siehst du, wie er dir weiterhilft?
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}}{(1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}) * (1+\wurzel{\bruch{n-1}{n})}} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1+ \wurzel{\bruch{n-1}{n}}}= \bruch{1}{1+0} = 1[/mm]
Nun richtig?
Gruß,
Lisa
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Fr 18.01.2013 | | Autor: | fred97 |
>
> Hallo :)
>
> > Hallo,
> >
> > > Ich hatte es in der vorletzten Antwort probiert:
> > >
> > > [mm]\bruch{1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}} = \bruch{1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}} \cdot{} \bruch{1 + \bruch{n-1}{n}}{1+ \bruch{n-1}{n}} = \bruch{(1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}})\cdot{}(1 + \bruch{n-1}{n})\cdot{}n^2}{n^2-2n+1}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Hier wusste ich aber nicht, wie ich weitermachen soll.
> >
> > Und ich hatte dir jetzt schon mehrfach geraten, den Nenner
> > des Bruches mit Hilfe der 3. binomischen Formel zu
> > faktorisieren. Das sieht so aus:
> >
> > [mm]1-\bruch{n-1}{n}=\left (1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}} \right )*\left (1+\wurzel{\bruch{n-1}{n}} \right )[/mm]
>
> >
> > Diesen Trick solltest du fest in dein Repertoire einbauen.
> > Siehst du, wie er dir weiterhilft?
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}}{(1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}) * (1+\wurzel{\bruch{n-1}{n})}} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1+ \wurzel{\bruch{n-1}{n}}}= \bruch{1}{1+0} = 1[/mm]
>
> Nun richtig?
nein. Es gilt [mm] \bruch{n-1}{n} \to [/mm] 1
FRED
>
> Gruß,
> Lisa
>
>
|
|
|
| |
|
> >
> > Hallo :)
> >
> > > Hallo,
> > >
> > > > Ich hatte es in der vorletzten Antwort probiert:
> > > >
> > > > [mm]\bruch{1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}} = \bruch{1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}} \cdot{} \bruch{1 + \bruch{n-1}{n}}{1+ \bruch{n-1}{n}} = \bruch{(1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}})\cdot{}(1 + \bruch{n-1}{n})\cdot{}n^2}{n^2-2n+1}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Hier wusste ich aber nicht, wie ich weitermachen soll.
> > >
> > > Und ich hatte dir jetzt schon mehrfach geraten, den Nenner
> > > des Bruches mit Hilfe der 3. binomischen Formel zu
> > > faktorisieren. Das sieht so aus:
> > >
> > > [mm]1-\bruch{n-1}{n}=\left (1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}} \right )*\left (1+\wurzel{\bruch{n-1}{n}} \right )[/mm]
>
> >
> > >
> > > Diesen Trick solltest du fest in dein Repertoire einbauen.
> > > Siehst du, wie er dir weiterhilft?
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}}{(1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}) * (1+\wurzel{\bruch{n-1}{n})}} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1+ \wurzel{\bruch{n-1}{n}}}= \bruch{1}{1+0} = 1[/mm]
>
> >
> > Nun richtig?
>
> nein. Es gilt [mm]\bruch{n-1}{n} \to[/mm] 1
Oh, dummer Fehler. Aber ich habe ihn verstanden.
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}}{(1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}) * (1+\wurzel{\bruch{n-1}{n})}} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1+ \wurzel{\bruch{n-1}{n}}}= \bruch{1}{1+1} = \bruch{1}{2}[/mm]
Gruß,
Lisa
|
|
|
| |
|
Hallo,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}}{1-\bruch{n-1}{n}} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}}{(1-\wurzel{\bruch{n-1}{n}}) * (1+\wurzel{\bruch{n-1}{n})}} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1+ \wurzel{\bruch{n-1}{n}}}= \bruch{1}{1+1} = \bruch{1}{2}[/mm]
jetzt ist es richtig.
Siehst du: Aufgeben gilt nicht!
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:34 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
> Aufgabe 7: auch richtig gerewchnet, aber falsch
> geschrieben. Eine Summe oder Differenz, sowie auch ein
> Produkt, von welchen ein Grenzwert bestimmt werden soll,
> müssen geklammert werden, also es muss bspw. am Ende
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left ( 2+\bruch{(-1)^n}{n} \right )=2[/mm]
>
> heißen.
naja, das kann man ruhig mit
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty} 2+(-1)^n/n=2$$
[/mm]
oder auch
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty} 2+(-1)^n/n=2+0=2$$
[/mm]
stehen lassen. Eigentlich sollte man die Klammern setzen, aber hier ist's
wirklich egal: Dass man [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} 2+(-1)^n/n$ [/mm] als [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} (2+(-1)^n/n)$ [/mm]
zu lesen hat, ist klar wegen der "einklammernden [mm] $n\,$'s".
[/mm]
Und ob man nun [mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty} (2+(-1)^n/n)=2$ [/mm] "direkt" hinschreibt,
oder eigentlich sowas macht:
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty} (2+(-1)^n/n)=(\limes_{n\rightarrow\infty}2)+\limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^n/n=2+0=2\,,$$
[/mm]
wäre mir relativ egal. Ich denke sogar, dass Lisa genau das letztstehende
da gedacht und gerechnet hatte, denn sie hatte ja [mm] $2+0=2\,$ [/mm] da irgendwo
stehen.
Aber besser ist's natürlich, erstmal
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty} (2+(-1)^n/n)$$
[/mm]
zu schreiben - ähnlich, wie's besser ist:
[mm] $$\int [/mm] (f(x)+g(x))dx$$
zu schreiben, anstatt
[mm] $$\int f(x)+g(x)dx\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:58 Fr 18.01.2013 | | Autor: | fred97 |
Zu 11:
Da war doch zu berechnen
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n^2+8n+17}-(n+1) [/mm] $
Erweitere [mm] \sqrt{n^2+8n+17}-(n+1) [/mm] mit [mm] \sqrt{n^2+8n+17}+(n+1)
[/mm]
(3. Binomi !)
FRED
|
|
|
| |
|
Guten Morgen Fred :)
> Zu 11:
>
> Da war doch zu berechnen
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n^2+8n+17}-(n+1)[/mm]
>
> Erweitere [mm]\sqrt{n^2+8n+17}-(n+1)[/mm] mit
> [mm]\sqrt{n^2+8n+17}+(n+1)[/mm]
>
> (3. Binomi !)
Oh, das mir das nicht eingefallen ist :P
[mm] \sqrt{n^2+8n+17}-(n+1) = \sqrt{n^2+8n+17}-(n+1) * \bruch{ \sqrt{n^2+8n+17} + (n+1)}{ \sqrt{n^2+8n+17} + (n+1)} = \bruch{n^2+8n+17-n^2-2n-1}{ \sqrt{n^2+8n+17} + (n+1)}= \bruch{6n+16}{ \sqrt{n^2+8n+17} + n+1}[/mm]
Und jetzt?
Jetzt muss ich bestimmt wieder abschätzen und das kann ich nicht
Dankeschön :)
Lisa
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 Fr 18.01.2013 | | Autor: | fred97 |
>
> Guten Morgen Fred :)
>
> > Zu 11:
> >
> > Da war doch zu berechnen
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n^2+8n+17}-(n+1)[/mm]
> >
> > Erweitere [mm]\sqrt{n^2+8n+17}-(n+1)[/mm] mit
> > [mm]\sqrt{n^2+8n+17}+(n+1)[/mm]
> >
> > (3. Binomi !)
>
> Oh, das mir das nicht eingefallen ist :P
>
> [mm]\sqrt{n^2+8n+17}-(n+1) = \sqrt{n^2+8n+17}-(n+1) * \bruch{ \sqrt{n^2+8n+17} + (n+1)}{ \sqrt{n^2+8n+17} + (n+1)} = \bruch{n^2+8n+17-n^2-2n-1}{ \sqrt{n^2+8n+17} + (n+1)}= \bruch{6n+16}{ \sqrt{n^2+8n+17} + n+1}[/mm]
>
> Und jetzt?
Dividiere Zähler und Nenner durch n
> Jetzt muss ich bestimmt wieder abschätzen
Nein.
FRED
> und das kann
> ich nicht
>
> Dankeschön :)
>
> Lisa
|
|
|
| |
|
Hallo Fred :)
[mm]\sqrt{n^2+8n+17}-(n+1) = \sqrt{n^2+8n+17}-(n+1) * \bruch{ \sqrt{n^2+8n+17} + (n+1)}{ \sqrt{n^2+8n+17} + (n+1)} = \bruch{n^2+8n+17-n^2-2n-1}{ \sqrt{n^2+8n+17} + (n+1)}= \bruch{6n+16}{ \sqrt{n^2+8n+17} + n+1}[/mm]
>
> >
> > Und jetzt?
>
> Dividiere Zähler und Nenner durch n
>
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{6n+16}{ \sqrt{n^2+8n+17} + n+1} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{6+\bruch{16}{n}}{\bruch{\sqrt{n^2+8n+17}}{n}+ 1 + \bruch{1}{n}} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{6}{\bruch{\sqrt{n^2+8n+17}}{n} + 1}[/mm]
Aber gegen was strebt denn [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\sqrt{n^2+8n+17}}{n}[/mm] ??
>
> FRED
>
> > und das kann
> > ich nicht
> >
> > Dankeschön :)
> >
> > Lisa
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:16 Fr 18.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{6n+16}{ \sqrt{n^2+8n+17} + n+1} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{6+\bruch{16}{n}}{\bruch{\sqrt{n^2+8n+17}}{n}+ 1 + \bruch{1}{n}} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{6}{\bruch{\sqrt{n^2+8n+17}}{n} + 1}[/mm]
>
> Aber gegen was strebt denn [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\sqrt{n^2+8n+17}}{n}[/mm]
> ??
Mach es einfacher, und ziehe auch aus der Wurzel das n heraus, dazu musst du natürlich in der Wurzel n² ausklammern.
Also:
[mm]\frac{6n+16}{ \sqrt{n^2+8n+17} + n+1}[/mm]
[mm]=\frac{n\cdot\left(6+\frac{16}{n}\right)}{\sqrt{n^2\cdot\left(1+\frac{8}{n}+\frac{17}{n^{2}}\right)}+n\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)}[/mm]
[mm]=\frac{n\cdot\left(6+\frac{16}{n}\right)}{n\cdot\sqrt{1+\frac{8}{n}+\frac{17}{n^{2}}}+n\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)}[/mm]
[mm]=\frac{n\cdot\left(6+\frac{16}{n}\right)}{n\cdot\left(\sqrt{1+\frac{8}{n}+\frac{17}{n^{2}}}+1+\frac{1}{n}\right)}[/mm]
[mm]=\frac{6+\frac{16}{n}}{\sqrt{1+\frac{8}{n}+\frac{17}{n^{2}}}+1+\frac{1}{n}}[/mm]
Nun lasse [mm] n\to\infty [/mm] laufen.
Marius
|
|
|
| |
|
Hallo Rex und danke für deine Hilfe :)
Ich konnte alles nachvollziehen :)
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{6+\frac{16}{n}}{\sqrt{1+\frac{8}{n}+\frac{17}{n^{2}}}+1+\frac{1}{n}} = \bruch{6}{1+1} = \bruch{6}{2} = 3[/mm]
Ist das so korrekt?
Gruß,
Lisa
|
|
|
| |
|
Hallo,
>
> Hallo Rex und danke für deine Hilfe :)
>
> Ich konnte alles nachvollziehen :)
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{6+\frac{16}{n}}{\sqrt{1+\frac{8}{n}+\frac{17}{n^{2}}}+1+\frac{1}{n}} = \bruch{6}{1+1} = \bruch{6}{2} = 3[/mm]
>
> Ist das so korrekt?
ja.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lisa,
nur kurz zu dieser Frage:
> Aber gegen was strebt denn [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\sqrt{n^2+8n+17}}{n}[/mm]
> ??
der LIMES strebt nicht mehr irgendwogegen, er IST. Und der Limes IST [mm] $1\,.$
[/mm]
Das kann man etwa so rechnen:
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\sqrt{n^2+8n+17}}{n}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\sqrt{n^2*\left(1+\tfrac{8}{n}+\tfrac{17}{n^2}\right)}}{n}=\ldots$$
[/mm]
(Ist Dir klar, wie's weitergeht)
oder auch so:
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\sqrt{n^2+8n+17}}{n}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\sqrt{n^2+8n+17}}{\sqrt{n^2}}=\ldots$$
[/mm]
(Auch hier: Ist dir klar, wie's weitergeht? Erinnere Dich an [mm] $\sqrt{a}/\sqrt{b}=\sqrt{a/b}$ [/mm] für $a [mm] \ge [/mm] 0$ und $b > [mm] 0\,$...)
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Fr 18.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Zu Aufgabe 11 kann man auch n+4 ausklammern, wenn man passend umformt:
Wir hatten ja schon:
[mm] \sqrt{n^2+8n+17}-n-1 = \frac{6n+16}{ \sqrt{n^2+8n+17} + n+1} [/mm]
Nun formen wir mal wie folgt um:
[mm]\frac{6n+16}{ \sqrt{n^2+8n+17} + n+1}[/mm]
[mm]=\frac{6n+24-8}{ \sqrt{n^2+8n+16-16+17} + n+4-4+1}[/mm]
[mm]=\frac{6\cdot(n+4)-8}{ \sqrt{(n+4)^2+1} + n+4-3}[/mm]
[mm]=\frac{(n+4)\cdot\left(6-\frac{8}{n+4}\right)}{\sqrt{(n+4)^2\cdot\left(1+\frac{1}{n+4}\right)}+(n+4)\cdot\left(1-\frac{3}{n+4}\right)}[/mm]
[mm]=\frac{(n+4)\cdot\left(6-\frac{8}{n+4}\right)}{(n+4)\cdot\left(\sqrt{1+\frac{1}{n+4}}+1-\frac{3}{n+4}\right)}[/mm]
[mm] $=\frac{6-\frac{8}{n+4}}{\sqrt{1+\frac{1}{n+4}}+1-\frac{3}{n+4}}$
[/mm]
Auch hier lasse nun wieder [mm] n\to\infty [/mm] laufen.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> 5. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n^2})^n[/mm]
Diophant hatte hier, glaube ich, noch nach einer einfachen Lösung für
diese Aufgabe gesucht.
Was auf jeden Fall geht:
[mm] $$\left(1+\bruch{1}{n^2}\right)^n=\sqrt[n]{\left(1+\bruch{1}{n^2}\right)^{n^2}}\,,$$
[/mm]
und [mm] ${\left(\left(1+\tfrac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right)}_{n \in \IN}$ [/mm] ist eine Folge mit Werten
in [mm] $[2,4]\,$ [/mm] (natürlich kann man viel mehr über diese Folge aussagen, aber
das genügt). Wir erinnern uns erneut, dass [mm] $\sqrt[n]{a} \to [/mm] 1$ für alle $a > [mm] 0\,.$
[/mm]
Warum genügt das? Naja, ich geh' mir mal ein Sandwich machen...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lisa,
> 6. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n^2})^n^2[/mm]
Schachu sagte hier, dass Du dort [mm] $m=n^2$ [/mm] setzen solltest. Das ist auch
okay - aber verdeckt eigentlich etwas.
Denn eigentlich sagt Schachu ja erstmal nur (in übertrieben ausführlicher
Notation):
[mm] $$\lim_{\IN \ni n \to \infty} (1+1/n^2)^{n^2}=\lim_{\{q: q \text{ ist Quadratzahl}\} \ni m \to \infty} (1+1/m)^m=e\,.$$
[/mm]
Formal hat man da eigentlich nur den linken Limes umgeschrieben - und
der rechte soll angeblich der gleiche sein, wie wenn man sich [mm] $\lim_{\IN \ni m \to \infty} (1+1/m)^m$
[/mm]
anguckt?
Ich finde, dass das gar nicht jedem so wirklich klar sein muss. Deswegen
ein einfaches Argument, warum das dennoch bzw. eigentlich richtig ist:
Ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] eine Folge mit Grenzwert [mm] $a\,,$ [/mm] so konvergiert auch jede
Teilfolge [mm] $(a_{k_n})_n$ [/mm] von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gegen [mm] $a\,.$
[/mm]
Und mit [mm] $k_n:=n^2$ [/mm] ist [mm] $((1+1/k_n)^{k_n})_n\equiv ((1+1/n^2)^{n^2})_n$ [/mm] ja eine Teilfolge der
bekanntlich gegen [mm] $e\,$ [/mm] konvergenten Folge [mm] $((1+1/n)^n)_n\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
