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Grenzwert von Funktionen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:12 Mi 02.03.2005
Autor: GrJoker

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo ich hab da mal eine Frage zu Grenzwerten.
Wenn ich zum Beispiel den Grenzwert von x gegen 0 für (sin(2x))/(sin(x)) berechnen muss. Gehe ich so vor das ich für x erst mal 0,1 einsetze und dann nochmal 0,01 einsetze und sehe dann das der Grenzwert zwei sein muss.

Das kommt mir sehr umständlich vor und dann habe ich zwar das Ergebnis aber wie schreibe ich das am besten auf weil ich ja nicht nur das Ergebnis aufschreiben kann. Hat jemand eine Idee?  
        
Bezug
Grenzwert von Funktionen: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:30 Mi 02.03.2005
Autor: Loddar

Hallo GrJoker!

Auch Dir hier [willkommenmr] !!


> Hallo ich hab da mal eine Frage zu Grenzwerten.
> Wenn ich zum Beispiel den Grenzwert von x gegen 0 für
> (sin(2x))/(sin(x)) berechnen muss. Gehe ich so vor das ich
> für x erst mal 0,1 einsetze und dann nochmal 0,01 einsetze
> und sehe dann das der Grenzwert zwei sein muss.

Dieser Weg ist natürlich alles andere als ein genauer Nachweis für den Grenzwert (damit kannst Du allemal eine "Tendenz" oder eine "Richtung" ermitteln).


In Deinem genannten Beispiel gibt es nun zwei Wege:


Variante 1 : Trigonometrische Umformung

Gemäß Additionstheorem gilt ja: [mm] $\sin(2x) [/mm] \ = \ [mm] 2*\sin(x)*\cos(x)$ [/mm]
(sieh' mal in Deiner Formelsammlung nach)

Damit kürzt sich dann einmal [mm] $\sin(x)$ [/mm] heraus und Du erhältst Dein (Dir bereits bekanntes) Ergebnis ...



Variante 2 : Grenzwertsatz nach de l'Hospital

Dieser Weg funktioniert hier auch, da wir für $x [mm] \to [/mm] 0$ den Ausdruck [mm] "$\bruch{0}{0}$" [/mm] erhalten.

Damit dürfen wir mit dem MBGrenzwertsatz nach de l'Hospital arbeiten. Ist Dir dieser bekannt?

Auch damit kommen wir relativ schnell zum Ziel, ist in meinen Augen in diesem Falle aber etwas mit "Kanonen auf Spatzen schießen" ...


Grüße
Loddar

Bezug
                
Bezug
Grenzwert von Funktionen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:04 Mi 02.03.2005
Autor: GrJoker



Variante 1: Wenn ich die Trigonometrische Umformung mache dann bleibt
2 cos (x) übrig. Wenn ich jetzt also die 0 für das x einsetzte kommt 2 raus. Das macht Sinn.  Kann ich das bei allen Trigonometrischen Funktionen so machen? Also ich meine Umformen und dann den Wert einsetzen gegen den der Grenzwert gehen soll?

Variante 2: Gehört schon nur leider noch nicht mit beschäftigt wird aber heute noch kommen.






Bezug
                        
Bezug
Grenzwert von Funktionen: Erläuterung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:14 Mi 02.03.2005
Autor: Loddar

Hallo GrJoker!


> Variante 1: Wenn ich die Trigonometrische Umformung mache
> dann bleibt 2 cos (x) übrig. Wenn ich jetzt also die 0 für das x
> einsetzte kommt 2 raus.

[daumenhoch]


> Kann ich das bei allen Trigonometrischen Funktionen so machen?
> Also ich meine Umformen und dann den Wert einsetzen gegen den der
> Grenzwert gehen soll?

So pauschal kann man das bei der Vielzahl der möglichen Funktionszusammenstellungen natürlich nicht sagen.

Aber es lohnt sich auf jeden Fall, sich über mögliche Umformungen (Additionstheoreme o.ä.) Gedanken zu machen.

Das ist oft eleganter als andere Varianten (wie z.B. de l'Hospital, siehe oben ;-)).


Gruß
Loddar

Bezug
                                
Bezug
Grenzwert von Funktionen: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:33 Mi 02.03.2005
Autor: GrJoker

Danke für die schnellen Tipps. Ich weiß jetzt das ich mir noch eine Menge anschauen muss.
Bezug
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