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| Aufgabe | Wie lautet der Grenzwert: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{ x_{2} + ax}- \wurzel{x_{2} -ax} [/mm] , wobei a [mm] \in \IR.
[/mm]
(ich weiß nicht, wie man das macht, aber statt limes gegen unendlich, müsste limes gegen - unendlich dastehen und statt n halt x) |
Hallo,
ich überlege schon die ganze Zeit, wie ich weiterkommen könnte.
Ich habe bisher den Term so erweitert, dass ich die 3. binomische Formel erhalten habe, sodass aus die Wurzeln wegfielen. Mein Problem ist jetzt aber, dass nun zwar die Wurzeln aus dem Zähler weg sind, aber sie jetzt durch das Erweitern (um die 3. binomische Formel zu erhalten) im Nenner habe. Jetzt habe ich keine Idee wie ich weiter auflösen oder umformen kann, damit ich die Grenzwertsätze anwenden kann, um den Grenzwert zu berechnen.
Hat irgendjemand vielleicht einen Ansatz für mich?
Vielen Dank im Voraus!
LG
PS:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo SunshineABC,
> Wie lautet der Grenzwert: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{ x_{2} + ax}- \wurzel{x_{2} -ax}[/mm]
> , wobei a [mm]\in \IR.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> (ich weiß nicht, wie man das macht,
> aber statt limes gegen unendlich, müsste limes gegen -
> unendlich dastehen und statt n halt x)
Naja, mit den Pfeiltasten bis zum n im Quelltext gehen, backspace und dafür ein x hinschreiben 
Ich nehme an, mit $x_2$ ist $x^2$ gemeint?!
Hochzahlen mache mit dem Dach ^ links neben der 1, Exponenten, die länger als 1 Zeichen sind, setze dabei in geschweifte Klammern
> Hallo,
> ich überlege schon die ganze Zeit, wie ich weiterkommen
> könnte.
> Ich habe bisher den Term so erweitert, dass ich die 3.
> binomische Formel erhalten habe, sodass aus die Wurzeln
> wegfielen. Mein Problem ist jetzt aber, dass nun zwar die
> Wurzeln aus dem Zähler weg sind, aber sie jetzt durch das
> Erweitern (um die 3. binomische Formel zu erhalten) im
> Nenner habe.
Das ist genau der richtige Gedanke, in den Nennerwurzeln kannst du jeweils ausklammern:
$\sqrt{x^2+ax}-\sqrt{x^2-ax}=\frac{\left(\sqrt{x^2+ax}-\sqrt{x^2-ax}\right)\cdot{}\blue{(\sqrt{x^2+ax}+\sqrt{x^2-ax})}}{\blue{\sqrt{x^2+ax}+\sqrt{x^2-ax}}}$
$=\frac{x^2+ax-(x^2-ax)}{\sqrt{x^2\cdot{}\left(1+\frac{a}{x}\right)}+\sqrt{x^2\cdot{}\left(1-\frac{a}{x}\right)}}$
Nun fasse den Zähler schnell zusammen und ziehe das $x^2$ im Nenner jeweils aus den Wurzeln gem. $\sqrt{m\cdot{}n}=\sqrt{m}\cdot{}\sqrt{n}$, bedenke, dass hier $x>0$ von Interesse ist, da $\lim\limits_{x\to\infty$ betrachtet wird, also $\sqrt{x^2}=|x|=x$
Wenn du das getan hast, kannst du schlussendlich x im Nenner ausklammern, kürzen und dann $x\to\infty$ gehen lassen.
> Jetzt habe ich keine Idee wie ich weiter
> auflösen oder umformen kann, damit ich die Grenzwertsätze
> anwenden kann, um den Grenzwert zu berechnen.
> Hat irgendjemand vielleicht einen Ansatz für mich?
> Vielen Dank im Voraus!
>
> LG
>
> PS:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
danke für den Tipp.
Ich habe allerdings noch ein Problem, ich weiß gerade nicht genau wie ich x aus dem Nenner ausklammern soll ..
stehen würde im Nenner ja dann:
x * [mm] \wurzel{ax} [/mm] + x* [mm] \wurzel{-ax} [/mm]
Irgendwie stell ich mich da gerade doof an... kann ich jez einfach x ausklammern, sodass dann steht:
x * [mm] (\wurzel{ax}/x [/mm] + [mm] \wurzel{-ax}/x) [/mm] ???
Ich glaube, dass ist nicht richtig, oder?
LG
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus,
> danke für den Tipp.
> Ich habe allerdings noch ein Problem, ich weiß gerade
> nicht genau wie ich x aus dem Nenner ausklammern soll ..
> stehen würde im Nenner ja dann:
>
> x * [mm]\wurzel{ax}[/mm] + x* [mm]\wurzel{-ax}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wo ist das [mm] $\red{1+}$ [/mm] hingekommen? Und wie kommst du auf $ax$ ??
Da steht im Nenner [mm] $\blue{x}\cdot{}\sqrt{1+\frac{a}{x}}+\blue{x}\cdot{}\sqrt{1-\frac{a}{x}}$
[/mm]
Das ist eine Summe, und in beiden Summanden steht der Faktor [mm] $\blue{x}$
[/mm]
Den kann man also ausklammern:
[mm] $...=\blue{x}\cdot{}\left[\sqrt{1+\frac{a}{x}}+\sqrt{1-\frac{a}{x}}\right]$
[/mm]
> Irgendwie stell ich mich da gerade doof an... kann ich jezt
> einfach x ausklammern, sodass dann steht:
>
> x * [mm](\wurzel{ax}/x[/mm] + [mm]\wurzel{-ax}/x)[/mm] ???
So in etwa.
Nochmal:
es ist [mm] $\sqrt{x^2\cdot{}\left(1+\frac{a}{x}\right)}=\sqrt{x^2}\cdot{}\sqrt{1+\frac{a}{x}}=x\cdot{}\sqrt{1+\frac{a}{x}}$ [/mm] (wegen $x>0$)
Analog bei der anderen Wurzel ...
>
> Ich glaube, dass ist nicht richtig, oder?
Fast, mache nun mal ab der Stelle oben weiter, wo ich den richtig ausgeklammerten Nenner hingeschrieben habe
>
> LG
Gruß
schachuzipus
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Wieso steht denn im Nenner x* [mm] \wurzel{1+ a/x} [/mm] + x* [mm] \wurzel{1- a/x} [/mm] ???
Man erweitert den Term doch mit [mm] (\wurzel{x^2+ax} [/mm] + x* [mm] \wurzel{x^2-ax})/(\wurzel{x^2+ax} [/mm] + x* [mm] \wurzel{x^2-ax})
[/mm]
d.h. im Nenner steht doch dann [mm] (\wurzel{x^2+ax} [/mm] + x* [mm] \wurzel{x^2-ax})
[/mm]
oder nicht?
wie kommst du denn auf x* [mm] \wurzel{1+a/x} [/mm] + x* [mm] \wurzel{1-a/x} [/mm] ?
LG
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Hallo nochmal,
> Wieso steht denn im Nenner x* [mm]\wurzel{1+ a/x}[/mm] + x*
> [mm]\wurzel{1- a/x}[/mm] ???
> Man erweitert den Term doch mit [mm](\wurzel{x^2+ax}[/mm] + x*
> [mm]\wurzel{x^2-ax})/(\wurzel{x^2+ax}[/mm] + x* [mm]\wurzel{x^2-ax})[/mm]
Nein, um im Zähler die 3.binomische Formel zu bekommen, wird mit [mm] $\blue{\frac{\sqrt{x^2+ax}+\sqrt{x^2-ax}}{\sqrt{x^2+ax}+\sqrt{x^2-ax}}}$ [/mm] multipliziert.
Das steht auch oben, genauer lesen!! ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]")
>
> d.h. im Nenner steht doch dann [mm](\wurzel{x^2+ax}[/mm] + x*
> [mm]\wurzel{x^2-ax})[/mm]
> oder nicht?
> wie kommst du denn auf x* [mm]\wurzel{1+a/x}[/mm] + x*
> [mm]\wurzel{1-a/x}[/mm] ?
Das habe ich oben in aller Ausführlichkeit vorgerechnet und auch noch verbal beschrieben, was willst du also genau wissen?
Es steht alles im thread ...
>
> LG
Gruß
schachuzipus
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