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Hallo Freunde der Mathematik,
ich versuche mich gerade an der Lösung einer kleinen Aufgabe zu unendlichen Summen.
Die Aufgabe "bestimmen Sie den Grenzwert von":
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)}
[/mm]
Ich dachte hier zunächst an eine Partialbruchzerlegung:
Ansatz: [mm] \frac{a}{k} [/mm] + [mm] \frac{b}{k+1}
[/mm]
Auf einen Nenner bringen: [mm] \frac{a(k+1)}{k(k+1)} [/mm] + [mm] \frac{bk}{k(k+1)} [/mm] = [mm] \frac{a(k+1) + bk}{k(k+1)}
[/mm]
Jetzt ausmultiplizieren: [mm] \frac{ak + a + bk}{k(k+1)}
[/mm]
Gleichungssystem aufstellen und auflösen:
[mm] k^{0}: [/mm] a = 1
[mm] k^{1}: [/mm] 0 = a + b [mm] \gdw [/mm] b = -1
Jetzt habe ich den Bruch zerlegt:
[mm] \frac{1}{k} [/mm] - [mm] \frac{1}{k+1}
[/mm]
Und wenn ich das ( [mm] s_n [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \frac{1}{k} [/mm] - [mm] \frac{1}{k+1} [/mm] ) jetzt gegen unendlich laufen lasse komme ich auf 1 - [mm] \frac{1}{n+1}
[/mm]
Stimmt das alles?
Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 So 27.06.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Sieht gut aus, nur gegen Ende hin meintest du sicher etwas anderes. Wenn du die Partialbruchzerlegung vornimmst, dann bekommst du raus
[mm] s_n=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}=1-\bruch{1}{n+1}. [/mm] Wenn du dann n gegen unendlich, dann kommt also was raus?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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1? :)
Danke für deine Ausführungen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 So 27.06.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stöckchen!
> 1? :)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau.
Gruß
Loddar
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