Grenzwert von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Fr 12.12.2008 | | Autor: | Ikit |
| Aufgabe | Zeige [mm] \summe_{k=0}^{\infty} k^{2} q^{k} [/mm] = [mm] \bruch{2s + 1}{1 - q} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(1 - q) ^{2}}
[/mm]
wobei s gleich [mm] \summe_{k=0}^{\infty} kq^{k} [/mm] ist.
Mit Hilfe des direkten und des Cauchy Produktes von:
[mm] (\summe_{k=0}^{\infty} [/mm] (2k - [mm] 1)q^{k} [/mm] ) [mm] (\summe_{k=0}^{\infty} q^{k} [/mm] ) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich denke, dass man mit dem Cauchy Produkt auf die linke Seite und mit dem direkten Produkt auf die rechte Seite kommt. Ich hab aber bei beiden Probleme.
Zunächst das direkte:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(2k [/mm] - [mm] 1)q^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} 2kq^{k} [/mm] - [mm] q^{k} [/mm] = 2s - [mm] \bruch{1}{1-q}
[/mm]
Der Rechte Teil ist nochmal die geometrische Reihe also nochmal [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] multiplizieren:
[mm] \bruch{2s}{1-q} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(1-q)^{2}}
[/mm]
Wo kommt die +1 im ersten Zähler her?
Dann Cauchy Produkt:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \summe_{j=0}^{k} [(2j-1)q^{j}] q^{k-j} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} \summe_{j=0}^{k} [/mm] 2j - 1
Wie komm ich von [mm] \summe_{j=0}^{k} [/mm] 2j - 1 auf [mm] k^{2} [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Fr 12.12.2008 | | Autor: | Fulla |
Hallo Ikit,
wenn ich mir die Reihe mit Maple ausrechnen lasse, komm ich auf
[mm] $\sum_{k=0}^\infty k^2q^k=\frac{3q-1}{(1-q)^3}=\frac{2s}{1-q}-\frac{1}{(1-q)^2}$, [/mm] wobei [mm] $s:=\sum_{k=0}^\infty kq^k=\frac{q}{(1-q)^2}$
[/mm]
Die "+1" in der Angabe ist also falsch (oder es ist ein anderer Fehler irgendwo).
Zu deiner Frage beim Cauchy-Produkt:
[mm] $\sum_{j=0}^k (2j-1)=2\sum_{j=0}^k [/mm] j [mm] -\sum_{j=0}^k 1=2*\frac{k(k+1)}{2}-k=\ldots=k^2$
[/mm]
Lieben Gruß,
Fulla
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 Fr 12.12.2008 | | Autor: | Ikit |
Danke dir!
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Hallo lkit,
> Zeige [mm]\summe_{k=0}^{\infty} k^{2} q^{k}[/mm] = [mm]\bruch{2s + 1}{1 - q}[/mm]
> - [mm]\bruch{1}{(1 - q) ^{2}}[/mm]
>
> wobei s gleich [mm]\summe_{k=0}^{\infty} kq^{k}[/mm] ist.
> Mit Hilfe des direkten und des Cauchy Produktes von:
>
> [mm](\summe_{k=0}^{\infty}[/mm] (2k - [mm]1)q^{k}[/mm] )
> [mm](\summe_{k=0}^{\infty} q^{k}[/mm] )
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich denke, dass man mit dem Cauchy Produkt auf die linke
> Seite und mit dem direkten Produkt auf die rechte Seite
> kommt. Ich hab aber bei beiden Probleme.
>
> Zunächst das direkte:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(2k[/mm] - [mm]1)q^{k}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} 2kq^{k}[/mm]
> - [mm]q^{k}[/mm] = 2s - [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm]
> Der Rechte Teil ist nochmal die geometrische Reihe also
> nochmal [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm] multiplizieren:
> [mm]\bruch{2s}{1-q}[/mm] - [mm]\bruch{1}{(1-q)^{2}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wo kommt die +1 im ersten Zähler her?
Die kommt jetzt noch nicht zum Vorschein.
>
> Dann Cauchy Produkt:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \summe_{j=0}^{k} [(2j-1)q^{j}] q^{k-j}[/mm]
> = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} q^{k} \summe_{j=0}^{k}[/mm] 2j - 1
>
> Wie komm ich von [mm]\summe_{j=0}^{k}[/mm] 2j - 1 auf [mm]k^{2}[/mm] ?
>
>
Nun setzt Du das Cauchy-Produkt und das direkt von Dir berechnete gleich:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}q^{k}\left(\summe_{j=0}^{k}\left(2j-1\right)\right)=\bruch{2s}{1-q}-\bruch{1}{\left(1-q\right)^{2}}[/mm]
Jetzt mußt Du aber erst
[mm]\summe_{j=0}^{k}\left(2j-1\right)[/mm]
berechnen, da diese Summe auch von k abhängt.
Einsetzen und nach einer Umformung kommt dann die "+1" zum Vorschein.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:53 So 14.12.2008 | | Autor: | Ikit |
> Jetzt mußt Du aber erst
>
> [mm]\summe_{j=0}^{k}\left(2j-1\right)[/mm]
>
> berechnen, da diese Summe auch von k abhängt.
>
> Einsetzen und nach einer Umformung kommt dann die "+1" zum
> Vorschein.
Aber nach dem was Fulla gepostet hat, ist $ [mm] \summe_{j=0}^{k}\left(2j-1\right) [/mm] $ ja [mm] k^{2} [/mm] und dann weiß ich immer noch nicht wie eine + 1 zum Vorschein kommt. Genau da war ja mein Problem beim Cauchy Produkt, dass ich nicht wusste wie ich $ [mm] \summe_{j=0}^{k}\left(2j-1\right) [/mm] $ berechnen soll. Hmm...
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Hallo lkit,
> > Jetzt mußt Du aber erst
> >
> > [mm]\summe_{j=0}^{k}\left(2j-1\right)[/mm]
> >
> > berechnen, da diese Summe auch von k abhängt.
> >
> > Einsetzen und nach einer Umformung kommt dann die "+1" zum
> > Vorschein.
>
>
>
>
> Aber nach dem was Fulla gepostet hat, ist
> [mm]\summe_{j=0}^{k}\left(2j-1\right)[/mm] ja [mm]k^{2}[/mm] und dann weiß
> ich immer noch nicht wie eine + 1 zum Vorschein kommt.
> Genau da war ja mein Problem beim Cauchy Produkt, dass ich
> nicht wusste wie ich [mm]\summe_{j=0}^{k}\left(2j-1\right)[/mm]
> berechnen soll. Hmm...
>
Das kannst Du auch selbst nachrechnen:
[mm]\summe_{j=0}^{k}\left(2j-1\right)=2*\summe_{j=0}^{k}j-\summe_{j=0}^{k}1[/mm]
[mm]=2*\bruch{k*\left(k+1\right)}{2}-\left(k+1\right)=k*\left(k+1\right)-\left(k+1\right) \not= k^{2}[/mm]
Das wir richtig, wenn da stünde:
[mm]\summe_{j= 1 }^{k}\left(2j-1\right)=k^{2}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 So 14.12.2008 | | Autor: | Ikit |
Danke soweit.
Ich rechne also weiter und komme auf:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} (k^{2} [/mm] + 1) = [mm] \bruch{2s}{1-q} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(1-q)^{2}}
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} k^{2} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} [/mm] = [mm] \bruch{2s}{1-q} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(1-q)^{2}}
[/mm]
[mm] (\summe_{k=0}^{\infty} q^{k} k^{2}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] = [mm] \bruch{2s}{1-q} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(1-q)^{2}}
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} k^{2} [/mm] = [mm] \bruch{2s}{1-q} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(1-q)^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1-q}
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} k^{2} [/mm] = [mm] \bruch{2s-1}{1-q} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(1-q)^{2}}
[/mm]
was leider wieder falsch ist :(
Wo liegt denn diesmal mein Fehler wieder?
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Hallo lkit,
> Danke soweit.
>
> Ich rechne also weiter und komme auf:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} q^{k} (k^{2}[/mm] + 1) = [mm]\bruch{2s}{1-q}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{(1-q)^{2}}[/mm]
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} q^{k} k^{2}[/mm] + [mm]\summe_{k=0}^{\infty} q^{k}[/mm]
> = [mm]\bruch{2s}{1-q}[/mm] - [mm]\bruch{1}{(1-q)^{2}}[/mm]
> [mm](\summe_{k=0}^{\infty} q^{k} k^{2})[/mm] + [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm] =
> [mm]\bruch{2s}{1-q}[/mm] - [mm]\bruch{1}{(1-q)^{2}}[/mm]
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} q^{k} k^{2}[/mm] = [mm]\bruch{2s}{1-q}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{(1-q)^{2}}[/mm] - [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm]
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} q^{k} k^{2}[/mm] = [mm]\bruch{2s-1}{1-q}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{(1-q)^{2}}[/mm]
>
> was leider wieder falsch ist :(
> Wo liegt denn diesmal mein Fehler wieder?
Du mußt diese Summe ausrechnen:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty} q^{k} (k^{2}\red{-} 1)[/mm]
Gruß
MathePower
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