Grenzwert von Sekantensteigung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 Di 16.10.2007 | | Autor: | marylou |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f mit [mm] f(x)=\bruch{1}{x^{3}} [/mm] .
Bestimme rechnerisch die Ableitung f'(a) von f an einer beliebigen Stelle [mm] a\in\IR^\star [/mm] als Grenzwert von Sekantensteigungen.
Hinweis: Es ist [mm] u^{3}-v^{3}=(u-v)(u^{2}+uv+v²) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Halloo :)
Bei der Aufgabe fehlt mir der gesamte Ansatz, alleine die Variable a verwirrt mich, da sie ja in der funktion nicht vorkommt.
Für einen ersten Ansatz wäre ich seeeeeeehr dankbar :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Di 16.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo marylou!
Wenn Dich die Variable $a$ stört, kannst Du auch gerne $x_0$ schreiben oder so.
Für die Sekantensteigung $m_s$ zwischen zwei Punkten $P \ ( \ a \ | \ f(a) \ )$ und $Q \ ( \ x \ | \ f(x) \ )$ gilt folgende Formel:
$$m_s \ = \ \bruch{f(x)-f(a)}{x-a} \ = \ \bruch{\bruch{1}{x^3}-\bruch{1}{a^3}}{x-a}$$
Als Grenzwert der Sekantensteigung ist hier die Grenzwertbetrachtung $x\rightarrow a$ durchzuführen:
$$m_t \ = \ f'(a) \ = \ \limes_{x\rightarrow a}\bruch{f(x)-f(a)}{x-a} \ = \ \limes_{x\rightarrow a}\bruch{\bruch{1}{x^3}-\bruch{1}{a^3}}{x-a}}$$
Bringe nun die beiden Brüche im Zähler auf einen Hauptnenner, fasse zusammen und wende den genannten Umformungstipp an.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Di 16.10.2007 | | Autor: | marylou |
Danke schon mal :)
Aber es hapert immer noch :(
Habe nun das
[mm] f'(a)=\bruch{\bruch{1}{x^{3}} - \bruch{1}{a^{3}}}{x-a}
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{1}{(x-a)*(x^2+xa+a^2)}}{x-a} [/mm] |nun kann ich
oben und unten x-a kürzen
[mm] \bruch{1}{ax*(x+a)} [/mm] | kann ich dann x+ a wegfallen lassen?
Verstehe ich die Aufgabenstellung richtig, dass ich nur Gleichungen angeben soll und keine bestimmten Punkt die die Grenze bilden? Schließlich habe ich ja keine Werte bzw x- oder y- Werte gegeben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Di 16.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Danke schon mal :)
> Aber es hapert immer noch :(
>
> Habe nun das
> [mm]f'(a)=\bruch{\bruch{1}{x^{3}} - \bruch{1}{a^{3}}}{x-a}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\bruch{1}{(x-a)*(x^2+xa+a^2)}}{x-a}[/mm] |nun kann ich
> oben und unten x-a kürzen
diese Umformung ist leider ganz falsch.
du musst wirklich erst [mm] \bruch{1}{x^{3}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{a^{3}}
[/mm]
auf den Hauptnenner [mm] x^3*a^3 [/mm] bringen, dann die gegebene Formel benutzen, dann durch x-a kürzen und dann x gegen a
d.h. einfach x=a setzen.(weil ja dann im Nennerkeine 0 mehr entsteht)
Gruss leduart
> [mm]\bruch{1}{ax*(x+a)}[/mm] | kann ich dann x+ a wegfallen lassen?
>
> Verstehe ich die Aufgabenstellung richtig, dass ich nur
> Gleichungen angeben soll und keine bestimmten Punkt die die
> Grenze bilden? Schließlich habe ich ja keine Werte bzw x-
> oder y- Werte gegeben?
>
>
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