Grenzwert von f(x,y,...) < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:59 Mo 09.08.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Wenn man zeigen soll, dass z.B. f(x,y) = [mm] \bruch{x*y}{x^{2} - y^{2}} [/mm] im Nullpunkt stetig ist bzw. der Grenzwert existiert, dann gibt es doch den Satz
"f ist stetig an der Stelle [mm] (x_{0},y_{0}), [/mm] wenn für beliebige Folgen [mm] x_{n} [/mm] und [mm] y_{n} [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = [mm] x_{0} [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} y_{n} [/mm] = [mm] y_{0} [/mm] der Grenzwert [mm] f(x_{n},y_{n}) [/mm] existiert."
Ich weiss nur nicht ob ich das wirklich richtig verstehe:
Also in [mm] \bruch{x*y}{x^{2} - y^{2}} [/mm] jetzt z.B. für x und y [mm] \bruch{1}{n} [/mm] einsetzen, wenn man [mm] x_{0} [/mm] = 0 und [mm] y_{0} [/mm] = 0 untersuchen will...?
Einfach einsetzen und den Grenzwert mit n berechnen? Wenn ich jetzt x = [mm] \bruch{1}{n^{5}} [/mm] und y = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] einsetze, kann es dann nicht in manchen Fällen einen anderen Grenzwert geben???
Danke.
Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:11 Mo 09.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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Hallo kuhessigs,
ich bins, der FRED
> Wenn man zeigen soll, dass z.B. f(x,y) = [mm]\bruch{x*y}{x^{2} - y^{2}}[/mm]
> im Nullpunkt stetig ist bzw. der Grenzwert existiert, dann
> gibt es doch den Satz
>
> "f ist stetig an der Stelle [mm](x_{0},y_{0}),[/mm] wenn für
> beliebige Folgen [mm]x_{n}[/mm] und [mm]y_{n}[/mm] mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}[/mm] = [mm]x_{0}[/mm] und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} y_{n}[/mm] = [mm]y_{0}[/mm] der Grenzwert
> [mm]f(x_{n},y_{n})[/mm] existiert."
da fehlt noch was: .......der Grenzwert [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{n},y_{n})[/mm] existiert und [mm] =f(x_0,y_0) [/mm] ist
>
> Ich weiss nur nicht ob ich das wirklich richtig verstehe:
>
> Also in [mm]\bruch{x*y}{x^{2} - y^{2}}[/mm] jetzt z.B. für x und y
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] einsetzen, wenn man [mm]x_{0}[/mm] = 0 und [mm]y_{0}[/mm] = 0
> untersuchen will...?
Das ist keine gute Wahl, denn dann teilst Du durch 0
> Einfach einsetzen und den Grenzwert mit n berechnen? Wenn
> ich jetzt x = [mm]\bruch{1}{n^{5}}[/mm] und y = [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> einsetze, kann es dann nicht in manchen Fällen einen
> anderen Grenzwert geben???
Berechne mal [mm] f(\bruch{1}{n}, \bruch{1}{2n}) [/mm] und [mm] f(\bruch{1}{n}, \bruch{1}{9n}).
[/mm]
Dann siehst Du: der Grenzwert [mm] \limes_{(x,,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y) [/mm] existiert nicht.
>
> Danke.
>
> Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:31 Mo 09.08.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo Chuck Norris des Matheraums,
> > "f ist stetig an der Stelle [mm](x_{0},y_{0}),[/mm] wenn für
> > beliebige Folgen [mm]x_{n}[/mm] und [mm]y_{n}[/mm] mit
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}[/mm] = [mm]x_{0}[/mm] und
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} y_{n}[/mm] = [mm]y_{0}[/mm] der Grenzwert
> > [mm]f(x_{n},y_{n})[/mm] existiert."
>
> da fehlt noch was: .......der Grenzwert
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{n},y_{n})[/mm] existiert und
> [mm]=f(x_0,y_0)[/mm] ist
Ja, wenn du meinst.
>
> >
> > Ich weiss nur nicht ob ich das wirklich richtig verstehe:
> >
> > Also in [mm]\bruch{x*y}{x^{2} - y^{2}}[/mm] jetzt z.B. für x und y
> > [mm]\bruch{1}{n}[/mm] einsetzen, wenn man [mm]x_{0}[/mm] = 0 und [mm]y_{0}[/mm] = 0
> > untersuchen will...?
>
>
> Das ist keine gute Wahl, denn dann teilst Du durch 0
Wieso? Ich setze für n unendlich ein und nicht Null?
>
>
> > Einfach einsetzen und den Grenzwert mit n berechnen? Wenn
> > ich jetzt x = [mm]\bruch{1}{n^{5}}[/mm] und y = [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> > einsetze, kann es dann nicht in manchen Fällen einen
> > anderen Grenzwert geben???
>
>
> Berechne mal [mm]f(\bruch{1}{n}, \bruch{1}{2n})[/mm] und
> [mm]f(\bruch{1}{n}, \bruch{1}{9n}).[/mm]
>
> Dann siehst Du: der Grenzwert [mm]\limes_{(x,,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y)[/mm]
> existiert nicht.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{n}*\bruch{1}{2*n}}{\bruch{1}{n^{2}} - \bruch{1}{(2n)^{2}}}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{n}*\bruch{1}{2*n}}{\bruch{4}{4*n^{2}} - \bruch{1}{(4n^{2}}}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{2*n^{2}}}{\bruch{3}{4n^{2}}}
[/mm]
= [mm] \bruch{\bruch{1}{2}}{\bruch{3}{4}}
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
Wieso existiert es nicht? Und was ist wenn ich jetzt bei so Funktionen plötzlich [mm] \bruch{1}{n^{5}} [/mm] für die eine Variable und [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] für die andere einsetze? Stimm ja dann nicht???
Danke! Ich hab in ein paar Tagen Test, wenn ich bestehe, dann dank ich dir, wenn ich nicht bestehe, dann bist du nicht schuld.
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:46 Mo 09.08.2010 | | Autor: | fred97 |
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> Hallo Chuck Norris des Matheraums,
........................ dann mußt Du Stan Laurel sein ....................
>
>
> > > "f ist stetig an der Stelle [mm](x_{0},y_{0}),[/mm] wenn für
> > > beliebige Folgen [mm]x_{n}[/mm] und [mm]y_{n}[/mm] mit
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}[/mm] = [mm]x_{0}[/mm] und
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} y_{n}[/mm] = [mm]y_{0}[/mm] der Grenzwert
> > > [mm]f(x_{n},y_{n})[/mm] existiert."
> >
> > da fehlt noch was: .......der Grenzwert
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{n},y_{n})[/mm] existiert und
> > [mm]=f(x_0,y_0)[/mm] ist
>
> Ja, wenn du meinst.
Was soll das denn ? Nochmal: f ist stetig in [mm] (x_0,y_0) \gdw [/mm] für jede Folge [mm] ((x_n,y_n)) [/mm] aus dem Def.-bereich von f mit [mm] (x_n,y_n) \to (x_0,y_0) [/mm] gilt:
[mm] f(x_n,y_n) \to f(x_0,y_0)
[/mm]
>
> >
> > >
> > > Ich weiss nur nicht ob ich das wirklich richtig verstehe:
> > >
> > > Also in [mm]\bruch{x*y}{x^{2} - y^{2}}[/mm] jetzt z.B. für x und y
> > > [mm]\bruch{1}{n}[/mm] einsetzen, wenn man [mm]x_{0}[/mm] = 0 und [mm]y_{0}[/mm] = 0
> > > untersuchen will...?
> >
> >
> > Das ist keine gute Wahl, denn dann teilst Du durch 0
>
> Wieso? Ich setze für n unendlich ein und nicht Null?
Oh, mann: wenn Du für x und y jeweils 1/n einsetzt, so ist doch [mm] x^2-y^2= [/mm] 0, oder nicht ?
>
>
> >
> >
> > > Einfach einsetzen und den Grenzwert mit n berechnen? Wenn
> > > ich jetzt x = [mm]\bruch{1}{n^{5}}[/mm] und y = [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> > > einsetze, kann es dann nicht in manchen Fällen einen
> > > anderen Grenzwert geben???
> >
> >
> > Berechne mal [mm]f(\bruch{1}{n}, \bruch{1}{2n})[/mm] und
> > [mm]f(\bruch{1}{n}, \bruch{1}{9n}).[/mm]
> >
> > Dann siehst Du: der Grenzwert [mm]\limes_{(x,,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y)[/mm]
> > existiert nicht.
>
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{n}*\bruch{1}{2*n}}{\bruch{1}{n^{2}} - \bruch{1}{(2n)^{2}}}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{n}*\bruch{1}{2*n}}{\bruch{4}{4*n^{2}} - \bruch{1}{(4n^{2}}}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{2*n^{2}}}{\bruch{3}{4n^{2}}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{\bruch{1}{2}}{\bruch{3}{4}}[/mm]
> = [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
>
> Wieso existiert es nicht?
Warum tust Du nicht, was man Dir sagt ? Hast Du das gleiche auch mit $ [mm] f(\bruch{1}{n}, \bruch{1}{9n}). [/mm] $ gemacht ? Nein.
Nochmal ein "nochmal" :
der Grenzwert [mm]\limes_{(x,,y) \rightarrow (x_0,y_0)}f(x,y)[/mm] existiert [mm] \gdw [/mm]
für jede Folge [mm] ((x_n,y_n)) [/mm] mit [mm] (x_n,y_n) \to (x_0,y_0) [/mm] existiert der Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n,y_n) [/mm] und fällt immer gleich aus
> Und was ist wenn ich jetzt bei so
> Funktionen plötzlich [mm]\bruch{1}{n^{5}}[/mm] für die eine
> Variable und [mm]\bruch{1}{n^{2}}[/mm] für die andere einsetze?
> Stimm ja dann nicht???
>
> Danke! Ich hab in ein paar Tagen Test, wenn ich bestehe,
> dann dank ich dir, wenn ich nicht bestehe, dann bist du
> nicht schuld.
...wie gnädig ..............
FRED
>
> Gruss
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:58 Mo 09.08.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Achsoo, die beiden Folgen [mm] x_{n} [/mm] und [mm] y_{n} [/mm] müssen GLEICH sein.
Sag das doch sofort.
HAHAHAHA du bist ein alter Stan Laurel Fan! Bist du ein alt 68-er?
Gruss und Schöne Woche
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:02 Mo 09.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Achsoo, die beiden Folgen [mm]x_{n}[/mm] und [mm]y_{n}[/mm] müssen GLEICH
> sein.
Das ist doch Unsinn und gesagt hat das niemand !!!
> Sag das doch sofort.
>
> HAHAHAHA du bist ein alter Stan Laurel Fan! Bist du ein alt
> 68-er?
Nein so alt bin ich noch nicht. Du erinnerst Dich: als ich klein war , war ich Taschenrechner. Seit wann gibst denn die ?
FRED
>
> Gruss und Schöne Woche
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:10 Mo 09.08.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Nicht???
Was muss den für die Folgen gelten? Ich kapiere den Satz nicht. Sags mir doch einfach. Ich habe doch gemäss Satz zwei Folgen gefunden, die jeweils gegen [mm] x_{0} [/mm] und [mm] y_{0} [/mm] konvergieren. Diese einsetzen und Grenzwert berechnung durchführen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 Mo 09.08.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo qsxqsx!
Wenn Du die Stelle bzw. den Grenzwert [mm] $(x,y)\rightarrow(0,0)$ [/mm] betrachtest, muss für das Folgenpaar [mm] $(x_n,y_n)$ [/mm] (welche paarweise völlig unterschiedlich sein können) gelten:
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}x_n [/mm] \ = \ 0$$
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}y_n [/mm] \ = \ 0$$
Nicht mehr und nicht weniger. Ansonsten kannst Du für [mm] $x_n$ [/mm] bzw. [mm] $y_n$ [/mm] beliebige Folgen einsetzen (daher auch der Passus "für jede Folge ...").
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:21 Mo 09.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Nicht???
>
> Was muss den für die Folgen gelten? Ich kapiere den Satz
> nicht. Sags mir doch einfach.
Hab ich doch schon oben getan:
Nochmal:
Nochmal ein "nochmal" :
der Grenzwert $ [mm] \limes_{(x,,y) \rightarrow (x_0,y_0)}f(x,y) [/mm] $ existiert $ [mm] \gdw [/mm] $
für jede Folge $ [mm] ((x_n,y_n)) [/mm] $ mit $ [mm] (x_n,y_n) \to (x_0,y_0) [/mm] $ existiert der Grenzwert $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n,y_n) [/mm] $ und fällt immer gleich aus
FRED
> Ich habe doch gemäss Satz
> zwei Folgen gefunden, die jeweils gegen [mm]x_{0}[/mm] und [mm]y_{0}[/mm]
> konvergieren. Diese einsetzen und Grenzwert berechnung
> durchführen.
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> Nicht???
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> Was muss den für die Folgen gelten? Ich kapiere den Satz
> nicht. Sags mir doch einfach. Ich habe doch gemäss Satz
> zwei Folgen gefunden, die jeweils gegen [mm]x_{0}[/mm] und [mm]y_{0}[/mm]
> konvergieren. Diese einsetzen und Grenzwert berechnung
> durchführen.
Hallo,
Du möchtest die Stetigkeit von f im Punkt (0,0) untersuchen.
Die Funktion ist stetig in (0,0), wenn für jede beliebige Folge [mm] (x_n,y_n), [/mm] welche gegen (0,0) konvergiert,
erstens die Folge der Funktionswerte [mm] f(x_n, y_n) [/mm] konvergiert und
zweitens dieser Grenzwert f(0,0) ist.
Der Traum von der Stetigkeit platzt wie eine Seifenblase, wenn Du zwei Folgen findest, welche beide gegen (0,0) konvergieren, für die die Folgen der Funktionswerte aber verschiedene Grenzwerte haben. Denn (logo!) ist dann mindestens einer dieser Grenzwerte [mm] \not=f(0,0).
[/mm]
Zwei solche Folgen hatte Dir Dein spezieller Freund Fred aufs Silbertablett gelegt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:34 Mo 09.08.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Demfalls hat es Fred ja wirklich gut mit mir gemeint. Jetzt ist es mir klar. Ich muss einfach ZWEI Möglichkeiten probieren. (Die könnten aber ja zufällig mal gleich ausfallen - obwohl der Grenzwert der Funktion in [mm] x_{0}, y_{0} [/mm] nicht existiert, nicht?) Aber für mich ist die Sache so in Ordnung.
Danke euch allen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:36 Mo 09.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> Demfalls hat es Fred ja wirklich gut mit mir gemeint.
........... ich hatte nie etwas anderes im Sinn ...........
> Jetzt
> ist es mir klar. Ich muss einfach ZWEI Möglichkeiten
> probieren. (Die könnten aber ja zufällig mal gleich
> ausfallen - obwohl der Grenzwert der Funktion in [mm]x_{0}, y_{0}[/mm]
> nicht existiert, nicht?) Aber für mich ist die Sache so in
> Ordnung.
>
> Danke euch allen!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:35 Mo 09.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Nicht???
> >
> > Was muss den für die Folgen gelten? Ich kapiere den Satz
> > nicht. Sags mir doch einfach. Ich habe doch gemäss Satz
> > zwei Folgen gefunden, die jeweils gegen [mm]x_{0}[/mm] und [mm]y_{0}[/mm]
> > konvergieren. Diese einsetzen und Grenzwert berechnung
> > durchführen.
>
> Hallo,
>
> Du möchtest die Stetigkeit von f im Punkt (0,0)
> untersuchen.
>
> Die Funktion ist stetig in (0,0), wenn für jede beliebige
> Folge [mm](x_n,y_n),[/mm] welche gegen (0,0) konvergiert,
> erstens die Folge der Funktionswerte [mm]f(x_n, y_n)[/mm]
> konvergiert und
> zweitens dieser Grenzwert f(0,0) ist.
>
> Der Traum von der Stetigkeit platzt wie eine Seifenblase,
> wenn Du zwei Folgen findest, welche beide gegen (0,0)
> konvergieren, für die die Folgen der Funktionswerte aber
> verschiedene Grenzwerte haben. Denn (logo!) ist dann
> mindestens einer dieser Grenzwerte [mm]\not=f(0,0).[/mm]
> Zwei solche Folgen hatte Dir Dein spezieller Freund Fred
> aufs Silbertablett gelegt.
>
> Gruß v. Angela
>
Soweit die Stetigkeit in (0,0) . Allerdings hat mein spezieller Freund kuhessigs nur geliefert:
f(x,y) = $ [mm] \bruch{x\cdot{}y}{x^{2} - y^{2}} [/mm] $.
Ohne weiter zu sagen, wie f in den Punkten (x,y) mit [mm] x^2=y^2 [/mm] definiert ist, ist die Frage nach der Stetigkeit in (0,0) eigentlich sinnlos.
Allerdings ist es in obigem Fall irrelevant, wie f in (0,0) def. ist, denn der Grenzwert
[mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y)
[/mm]
kann nicht existieren, wie ich es mittlerweile schon durch 2 Silbertabletten versucht habe meinem speziellen Freund nahe zu bringen.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:48 Di 10.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke! Ich hab in ein paar Tagen Test, wenn ich bestehe,
> dann dank ich dir, wenn ich nicht bestehe, dann bist du
> nicht schuld.
Ich wünsch Dir natürlich alles Gute für den Test, ...... allerdings, .......wenn Du bestehst, stellst Du hier im Matheraum vielleicht keine Fragen mehr, und ich hätte dann doch entscheidend weniger Spaß ....
nein, ganz im Ernst: ich drück Dir die Daumen
FRED
>
> Gruss
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