Grenzwert von oben berechnen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechne [mm] \limes_{x\rightarrow 0^+} (x-x^2)(e^{\bruch{x-1}{x}}) [/mm] !(Ich möchte den Limes von x geht von oben gegen 0 |
So, diese Aufgabe ist nur ein Schritt zur eigentlichen Aufgabe, doch hier hackt es sehr.
Ich weiß durch ein Funktionszeichung, dass die Funktion bei x0= nicht definiert ist und dass die FUnktion von unten gegen minus unendlich geht und von oben gegen 0 geht, doch dies kann ich nur aus dem Graphen schließen bzw. durch Einsetzen von Werten, aber das ist nicht sehr mathematisch.
Ich würde gerne rechnerisch beweisen, dass der Grenzwert gegen 0 geht.
Definition:
$ [mm] \forall\varepsilon>0\exists\delta>0:0|f(x)-l|<\varepsilon [/mm] $
So, jetzt habe ich nur [mm] =>|f(x)|<\varepsilon [/mm] und die Bedingung, dass [mm] x<\delta [/mm] ist.
Ich würde dass jetzt gerne mit Delta-Epsilon lösen, doch ich weiß nicht, wie man die Funktion umformen soll bzw. wie ich das Delta wählen muss.
Kann mir wer helfen?
Und gibt es noch eine andere Möglichkeit, diesen Grenzwert zu bestimmen?
Lieben Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 So 17.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Berechne [mm]\limes_{x\rightarrow 0^+} (x-x^2)(e^{\bruch{x-1}{x}})[/mm]
> !(Ich möchte den Limes von x geht von oben gegen 0
> So, diese Aufgabe ist nur ein Schritt zur eigentlichen
> Aufgabe, doch hier hackt es sehr.
> Ich weiß durch ein Funktionszeichung, dass die Funktion
> bei x0= nicht definiert ist und dass die FUnktion von unten
> gegen minus unendlich geht und von oben gegen 0 geht, doch
> dies kann ich nur aus dem Graphen schließen bzw. durch
> Einsetzen von Werten, aber das ist nicht sehr
> mathematisch.
> Ich würde gerne rechnerisch beweisen, dass der Grenzwert
> gegen 0 geht.
> Definition:
>
> [mm]\forall\varepsilon>0\exists\delta>0:0|f(x)-l|<\varepsilon[/mm]
>
> So, jetzt habe ich nur [mm]=>|f(x)|<\varepsilon[/mm] und die
> Bedingung, dass [mm]x<\delta[/mm] ist.
> Ich würde dass jetzt gerne mit Delta-Epsilon lösen, doch
> ich weiß nicht, wie man die Funktion umformen soll bzw.
> wie ich das Delta wählen muss.
>
> Kann mir wer helfen?
> Und gibt es noch eine andere Möglichkeit, diesen
> Grenzwert zu bestimmen?
>
> Lieben Gruß
> TheBozz-mismo
Hallo,
es ist [mm] e^{\bruch{x-1}{x}}=e^{1-\bruch{1}{x}}=\bruch{e}{e^{\bruch{1}{x}}}
[/mm]
Bei [mm] \bruch{e(x-x^2)}{e^{\bruch{1}{x}}} [/mm] geht der Zähler gegen Null UND der Nenner gegen unendlich...
Gruß Abakus
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Hallo, erstmal vielen lieben Dank für die umformung, doch irgendwie hilft mir das nicht direkt bei meiner Aufgabe weiter.
Du sagst, dass der Zähler gegen Null geht und der Nenner gegen Unendlich, das heißt, insgesamt gegen Unendlich, aber der Grenzwert dieser Funktion geht doch gegen minus unendlich und für x gegen 0 von oben gegen 0.
Ich würde gerne wissen, wie man den Grenzwert von oben und unten genau betrachtet...ich mein, man kann in der Klausur nicht schreiben: Ich habe große Werte eingesezt oder Werte nahe an 0. Das ist mathematisch nicht korrekt!
Kann mir das einer erklären?
Vielen lieben Dank
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 So 17.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo TheBozz-mismo!
Oben haben wir doch folgenden Term erhalten:
$$\limes_{x\rightarrow\red{0}^+}\bruch{e*\left(x-x^2\right)}{e^{\bruch{1}{x}}$$
Für positve x-Werte nahe der Null ergeben sich für den Nenner unendlich große Werte.
Es ergibt sich demnach:
$$... \ = \ \bruch{e*(0-0^2)}{\infty} \ = \ \bruch{0}{\infty} \ = \ 0$$
Gruß
Loddar
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So, erstmal vielen Dank.
Wenn man die Funktion jetzt von unten betrachtet, dass heißt>
> [mm]\limes_{x\rightarrow{0}^-}\bruch{e*\left(x-x^2\right)}{e^{\bruch{1}{x}}[/mm]
Und jetzt werden die Werte nahe der negativen x-Werte immer kleiner, dass heißt, geht gegen 0, aber das geht doch nicht, oder auch gegen unendlich? Aber es muss ja minus unendlich herauskommen...
Kann mir das einer erklären?
Vielen Dank
Gruß
TheBozz-mismo
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... [mm] \limes_{x\rightarrow0^+}\frac{e\cdot{}\left(x-x^2\right)}{e^{\bruch{1}{x}}}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow0^+}\frac{e\cdot{}\left(\blue{-}0 - (-0)^2\right)}{e^{\bruch{1}{\red{-}0}}}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow0^+}\frac{e\cdot{}\left(\blue{-}0 - (-0)^2\right)}{e^{\red{-}\bruch{1}{0}}}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow0^+} \blue{-} \frac{0}{0}
[/mm]
Dein Denkfehler bestand darin das Minus im Exponenten zu übersehen [mm] e^{-\infty} [/mm] geht nämlich gegen 0. Wie man bei [mm] \frac{0}{0} [/mm] vorgeht weisst du wahrscheinlich.
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