Grenzwert von trigon. Funktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:46 So 21.08.2005 | | Autor: | Fuechsin |
Hallo, salut und hello!
ja, ich hab da ma wieder ne frage, aber eigentlich will ich mich diesmal nur versichern, ob das, was ich da so gemacht habe richtig ist. so an sich bin ich ziemlich glücklich, dass ich das so hinbekommen habe (in der hoffnung, dass jetzt keiner rummosert, und ich doch was übersehen habe... :( ) aber ich sollte vielleicht einfach mal zum Mathematischen kommen...
also wir sollen beweisen, dass
[mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{cosx -1}{x} [/mm] = 0 richtig ist
dazu wurden uns netterweise auch noch drei tipps gegeben.
ich gehe jetzt erstmal nur von der Funktion f(x)= [mm] \bruch{cosx -1}{x} [/mm] aus, dann muss man das nicht immer so umständlich schreiben. also 1. Tipp: erweitere mit (cosx +1)
ok also haben wir
f(x)= [mm] \bruch{cosx -1}{x}
[/mm]
f(x)= [mm] \bruch{(cosx -1)*(cosx +1)}{x*(cosx +1)}
[/mm]
f(x)= [mm] \bruch{(cos²x -1)}{x*(cosx +1)}
[/mm]
dann der 2. Tipp: wende sin²x+cos²x=1 an, ok, formen wir um
cos²x=1-sin²x und setzen ein:
f(x)= [mm] \bruch{(1-sin²x -1)}{x*(cosx +1)}
[/mm]
f(x)= [mm] \bruch{-sin²x }{x*(cosx +1)}
[/mm]
und zum schluss der letzte Tipp: wende [mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{sinx}{x} [/mm] = 1 an.
und bei dem was ich jetzt mache, da bin ich mir nicht ganz sicher, ob ich das darf, aber ich wüsste nicht, warum ich es nicht dürfte:
f(x)= [mm] \bruch{-sin²x }{x*(cosx +1)}
[/mm]
f(x)= [mm] \bruch{sinx*(-sinx)}{x*(cosx +1)}
[/mm]
f(x)= [mm] \bruch{sinx}{x}*\bruch{-sinx}{cosx+1}
[/mm]
(und zwar wunder ich mich über die komische schreibweise von sin²x , aber ich liege doch richtig wenn ich das auch also sinx*sinx schreibe, das müsste doch so sein, sonst würde der trigonometrische pythagorassatz ja keinen Sinn machen. (diese ganzen umformungen und sogenannten additionstheoreme zu den trigonometrischen Funktionen, die ich da in meiner formelsammlung gefunden habe sind sowieso etwas verwirrend gewesen...) udn so "aufspalten darf ich das doch auch, oder?)
und jetzt wieder mit limes schreiben:
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{sinx}{x}*\bruch{-sinx}{cosx+1}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow0}\bruch{sinx}{x}*\limes_{x\rightarrow0}\bruch{-sinx}{cosx+1}
[/mm]
= [mm] 1*\limes_{x\rightarrow0}\bruch{-sinx}{cosx+1}
[/mm]
[mm] =\bruch{\limes_{x\rightarrow0}-sinx}{\limes_{x\rightarrow0}cosx +1}
[/mm]
= [mm] \bruch{0}{2} [/mm] =0
also das denke ich jedenfalls, weil wenn x gegen 0 strebt, dann wird der sinx genauso wie der -sinx auch 0 und im nenner, bei x gegen 0 wird cosx gleich 1 und dann 1+1 =2. das verstößt dann auch nicht gegen die grenzwertsätze, weil im nenner nich 0 rauskommt.
Ja, also das wärs auch schon, ich bin mir wie gesagt an der einen Stelle da nich hundertporzentig sicher, aber ich hoffe es stimmt. falls ich an irgendeiner anderen Stelle was übersehen habe, dann sagt mir das bitte auch, wer weiß, nachher hab ich doch wieder irgendwas verplant *hoffentlich-nicht*
ich freue mich über jede antwort, wäre super, wenn sich jemand das angucken würde und mich auf mögliche Fehler aufmerksam macht!
Vielen Dank schonmal und natürlich einen schönen Abend noch!!!
viele liebe grüße, fuechsin ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Do 25.08.2005 | | Autor: | Fuechsin |
Ein bisschen spät, weil ich den Artikel schon vorher gelesen habe, aber trotzdem, wir wollen ja nicht so undankbar sein und einfach nichts sagen: Vielen dank fürs Nachgucken, und dafür, dass du dich mit meiner aufgabe beschäftigt hast!
Dankeschön!!!
viele Grüße und noch nen superschönen Tag ( hoffe es regnet nicht überall,so wie bei mir gerade...) :)
fuechsin
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