Grenzwert x -> 1 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die folgenden Grenzwerte existieren, und bestimmen Sie sie gegebenenfalls
[mm] a)\limes_{x\rightarrow1} \bruch{x^{n}-1}{x^{m}-1} [/mm] für m,n [mm] \in \IN
[/mm]
c) [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] f(x) mit der Abbildung f: [mm] \IR [/mm] \ {0} [mm] \to \IR, [/mm]
x [mm] \mapsto x*sin(\bruch{1}{x})
[/mm]
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Ich habe beim Bearbeiten der Aufgaben, festgetsellt dass ich das Prinzip irgendwie noch nicht so ganz verstanden hab.
zu a) Hier hab ich erstma ne Fallunterscheidung gemacht:
n<m
n=m
m>n
Leider bekomm ich dann im endeffekt überall für den Grenzwert /bruch{1-1}{1-1} raus... was mir nicht wirklcih weiter hilft, oder?
zu c)
[mm] x*sin(\bruch{1}{x})
[/mm]
Also: [mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] hat ja eine Oszillationsstelle bei 0 => eine Grenzwert existiert nicht,
x geht für x /to 0 logischer weise gegen 0.
Kann ich daraus was folgern?
Wäre gut wenn jmd auch mal ne grundsätzliche Vorgehensweise anschreiben könnte
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Ich glaube, zumindest a) wurde schon in einem anderen Thread besprochen, hier noch einmal der Grundgedanke:
[mm] x^{n} [/mm] - 1 kann man umformen in (x-1)*(...)
[mm] x^{m} [/mm] - 1 kann man umformen in (x-1)*(...)
(Logisch, weil offenbar beide Polynome die Nullstelle 1 haben)
Das (x-1) kannst du dann in Nenner und Zähler kürzen.
Bestimme mal den Rest mit Hilfe der Polynomdivision. Dann lässt sich ganz leicht auswerten, wie der Grenzwert für x [mm] \to [/mm] 1 sein wird.
Zu c)
Ich zitiere:
"Der Term [mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] hat bei null keinen Grenzwert, da [mm] \bruch{1}{x} [/mm] nach unendlich wächst und der Sinus daher unendlich oft alle Werte zwischen -1 und 1 annimmt. Die Beschränktheit des Sinus rettet allerdings die Situation: Wegen -1 [mm] \le sin(\bruch{1}{x}) \le [/mm] 1 ist -x [mm] \le x*sin(\bruch{1}{x}) \le [/mm] x. Da beide äußeren Terme für x [mm] \to [/mm] 0 den gleichen Grenzwert null haben, hat auch [mm] x*sin(\bruch{1}{x}) [/mm] denselben Grenzwert. (Einschließungskriterium)".
Du siehst: Einen allgemeinen Algorithmus gibt es nicht, man muss sich gewisser Methoden bewusst sein. Bei Polynomen muss man eigentlich immer irgendwas ausklammern, manchmal Linearfaktoren, manchmal auch nur Potenzen von x. Und Dann gibt es ja noch L'Hospital.
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