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Forum "Uni-Analysis" - Grenzwert x hoch x gehen +0
Grenzwert x hoch x gehen +0 < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Grenzwert x hoch x gehen +0: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:24 Fr 03.06.2005
Autor: Berndte2002

Hallo,

es soll der folgende Limes bestimmt werden mit der L'Hospitalschen Regel:

[mm] \limes_{x\rightarrow+0}x^{x} [/mm]

Hab schon versucht das Ganze irgendwie in einen Unbestimmten Ausdruck umzuformen, so dass man L'Hospital anwenden kann, aber es ist mir leider nicht gelungen.

Wäre für jeden Ansatz dankbar.
mfg
Berndte

        
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Grenzwert x hoch x gehen +0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:29 Fr 03.06.2005
Autor: banachella

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo!

Benutze, dass $x^x=e^{\ln\left(x^x\left)}=e^{x\ln x}$ gilt...
Kommst du jetzt durch?

Gruß, banachella

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Bezug
Grenzwert x hoch x gehen +0: Nachfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:42 Fr 03.06.2005
Autor: Berndte2002

Das hab ich mir auch am Anfang so gedacht, nur bin ich irgendwie nicht auf eine Form [mm] \bruch{0}{0} [/mm] oder [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] gekommen :/ Denn irgenwas hoch 0 ist ja immer 1...

Bezug
                        
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Grenzwert x hoch x gehen +0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:53 Fr 03.06.2005
Autor: banachella

Hallo!

Aber mit Hilfe von L'Hopital kannst du den Grenzwert von [mm] $x\ln [/mm] x$ bestimmen...

Gruß, banachella

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Grenzwert x hoch x gehen +0: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:01 Fr 03.06.2005
Autor: Loddar

Hallo Berndte!


Ein kleiner Tipp:   [mm] $x*\ln(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\ln(x)}{\bruch{1}{x}}$ [/mm]

Damit ergibt sich für $x \ [mm] \to [/mm] \ 0+$ der Ausdruck [mm] $\bruch{-\infty}{\infty}$ [/mm] und Du kannst mit MBde l'Hospital arbeiten.


Gruß
Loddar


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Bezug
Grenzwert x hoch x gehen +0: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:12 Fr 03.06.2005
Autor: Berndte2002

Also wenn man L'hospital auch auf [mm] \bruch{-\infty}{\infty} [/mm] anwenden kann, ist es mir jetzt klar.

[mm] \limes_{x\rightarrow+0}x^{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow+0}e^{x*ln(x)} [/mm] = [mm] e^{\limes_{x\rightarrow+0}x*ln(x)} [/mm] = [mm] e^{\limes_{x\rightarrow+0}\bruch{ln(x)}{\bruch{1}{x}}} [/mm] = [mm] e^{\limes_{x\rightarrow+0}-x} [/mm] = [mm] e^{0} [/mm] = 1

Danke
mfg
Berndte

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Bezug
Grenzwert x hoch x gehen +0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:13 Fr 03.06.2005
Autor: Karl_Pech

Hallo Berndte2002,


Man muß hier mit Grenzwertumkehr arbeiten:


[m]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x^x = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{1} {x}} \right)^{\frac{1} {x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1} {{\sqrt[x]{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1} {{e^{\frac{1} {x}\ln x} }} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\ln x}} {x}\mathop = \limits^{{\text{l'Hospital}}} \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{1} {x}}} {1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1} {x} = 0 \hfill \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1} {{e^{\frac{1} {x}\ln x} }} = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x^x = 1 \hfill \\ \end{gathered}[/m]



Viele Grüße
Karl



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