Grenzwert zeigen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:17 Sa 17.02.2007 | | Autor: | Fuffi |
| Aufgabe | Sei f: [0, [mm] \infty) \mapsto \IR [/mm] eine stetige Funktion mit L:= [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) existiert.
Zeigen sie, [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{1}{x} \integral_{0}^{\infty}{f(t) dt}) [/mm] = L |
Bin mal wieder auf eure Hilfe angewiesen. Wie gehe ich da am besten ran?
MfG
Fuffi
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum und auf keinen anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:38 Sa 17.02.2007 | | Autor: | Fuffi |
Hatte gerade eine Idee:
Da die Funktion stetig ist, weiß ich doch es ex. F(x) mit [mm] F^{'}(x) [/mm] = f(x). Also kann ich doch sagen
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{1}{x} \integral_{0}^{\infty}{f(t) dt}) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] [(1/x) * F(x) - F(0)]
und das dann umschreiben zu [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{F(x) - F(0)}{x - 0} [/mm] und bin damit doch so gut wie am Ziel oder nicht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:55 Sa 17.02.2007 | | Autor: | Jorgi |
Hallo Fuffi,
hmmm . also wenn ich mir folgendes betrachte:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{1}{x} \integral_{0}^{\infty}{f(t) dt}) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] [(1/x) * F(x) - F(0)]
warum darfst du einfach "- F(0)" dazuschreiben. Man kann doch nicht davon ausgehen, dass F(0) = 0 gilt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:46 Sa 17.02.2007 | | Autor: | Fuffi |
Ich hab mir folgendes Gedacht:
Da F(x) Stammfunktion von f(x) ist, gilt doch
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \integral_{0}^{x}{f(t) dt}) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] F(x) - F(0).
Und 1/x*(F(x) - F(0)) = [mm] \bruch{F(x) - F(0)}{x} [/mm] = [mm] \bruch{F(x) - F(0)}{x - 0}
[/mm]
Kann ich denn überhaupt aus der stetigkeit von f(x) folgern, dass F(x) existiert?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:58 Sa 17.02.2007 | | Autor: | Jorgi |
ahso sorry .. ich verstehe jetzt wie du das meinst.
Ja, für stetige Funktionen garantiert der hauptsatz die Existenz von Stammfunktionen.
bei dieser Aufgabe hat man dann folgende Situation
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1}{x} \cdot \integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{F(x)-F(0)}{x - 0}
[/mm]
was kannst du denn aus dem
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{F(x)-F(0)}{x - 0} [/mm] folgern ?
Beachte dass [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{F(x)-F(0)}{x - 0} \not= [/mm] F'(0)
x müsste gegen 0 laufen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 Sa 17.02.2007 | | Autor: | Fuffi |
Wie wäre es denn bei dem Term [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{F(x)-F(0)}{x - 0} [/mm] mit dem Mittelwertsatz zu argmuentieren?
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> Sei f: [0, [mm]\infty) \mapsto \IR[/mm] eine stetige Funktion mit
> L:= [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f(x) existiert.
> Zeigen sie, [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{1}{x} \integral_{0}^{\infty}{f(t) dt})[/mm]
> = L
Hallo,
meine Idee ware, zunächst zu zeigen, daß [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\integral_{0}^{x}{f(t) dt}=\infty,
[/mm]
mit dem Ziel, an dieser Stelle: [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{1}{x} \integral_{0}^{x}{f(t) dt}) [/mm]
dann den Grenzwert mit l'Hospital bestimmen zu können.
Die Sache ist noch nicht ganz ausgegoren und auch erst für L>0 angedacht, aber vielleicht bringt es Dich ja weiter:
Wenn f stetig und [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=L, [/mm] dann gibt es ein [mm] x_0, [/mm] so daß für alle [mm] x>x_0 [/mm] gilt: (*) [mm] \bruch{1}{2}L
Es ist [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\integral_{0}^{x}{f(t) dt}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}(\integral_{0}^{x_0}{f(t) dt}+\integral_{x_0}^{x}{f(t) dt}),
[/mm]
und es gilt wegen (*)
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(\integral_{0}^{x_0}{f(t) dt}+\integral_{x_0}^{x}{\bruch{1}{2}L dt}) \le \limes_{x\rightarrow\infty}\integral_{0}^{x}{f(t) dt}
[/mm]
==> [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(\integral_{0}^{x_0}{f(t) dt}+\bruch{1}{2}L x-\bruch{1}{2}L x_0) \le \limes_{x\rightarrow\infty}\integral_{0}^{x}{f(t) dt}
[/mm]
Die linke Seite geht gegen [mm] \infty, [/mm] also auch die rechte.
Mit F(x):= [mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm] hat man
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{1}{x} \integral_{0}^{\infty}{f(t) dt})[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{F(x)}{x} [/mm] ), Zähler und Nenner gehen gegen unendlich, also
[mm] ...=\limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{F'(x)}{1} [/mm] )=...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:59 Sa 17.02.2007 | | Autor: | Jorgi |
Hallo :)
ich würde meinen, für ein L < 0 würde das analog funktionieren.
zu untersuchen bleibt noch der Fall, L = 0
Ich würde vorschlagen man kann es einfach mit einer weiteren Fallunterscheidung machen.
1.Fall :
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm] existiere.
nennen wir ihn [mm]a[/mm]
Dann gillt
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \frac {\integral_{0}^{x}{f(t) dt}}{x} = \frac {a}{\infty} = 0[/mm], also folgt in diesem fall die behauptung.
2.Fall :
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm] exsistiere nicht.
dann folgt wieder die Situation mit L'Hospital
aber ich bin mir nicht sicher, ob vielleicht nicht Fälle auftreten könnten, die hier nicht abgedeckt sind
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:22 Sa 17.02.2007 | | Autor: | ullim |
Hi Angela,
es gibt aber doch auch Funktionen für die [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm] einen endlichen Wert ergibt, z.B für [mm] f(x)=e^{-x}.
[/mm]
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Sa 17.02.2007 | | Autor: | Jorgi |
Hallo :)
die Voraussetzung war aber das [mm]\lim_{x \to \infty}f(x) = L > 0[/mm]
[mm]\lim_{x \to \infty}e^{-1} = 0[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:48 Sa 17.02.2007 | | Autor: | ullim |
Auch Hallo,
wo war denn die Voraussetzung formuliert, das L>0 sein soll?
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 Sa 17.02.2007 | | Autor: | Jorgi |
das steht in Angelas Beitrag :)
mfg Jorgi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:58 Sa 17.02.2007 | | Autor: | ullim |
Vielleicht schaust Du mal in die Ursprungsfrage, vielleicht klärt sichs dann.
Und außerdem Zitat Angela
"Die Sache ist noch nicht ganz ausgegoren und auch erst für L>0 angedacht, aber vielleicht bringt es Dich ja weiter: "
mfg ullim
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Sa 17.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
benutze, was die Konvergenz sagt: es existiert ein [mm] x_0 [/mm] so dass ..... [mm] |f(x_0)-L|<\varepsilon
[/mm]
teil das Integral in 0 bis [mm] x_0, [/mm] der Teil geht, da endlich, mit 1/x gegen unendlich gegen 0.
dann den Rest des Integral abschaetzen durch [mm] $(x-x_0)*\max [/mm] f(x)$ und [mm] $(x-x_0)*\min [/mm] f(x)$,
Ihr wollt ja nicht nur Konvergenz, sondern auch GW L!
Gruss leduart
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