Grenzwertber. von Def.lücken < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Di 02.01.2007 | | Autor: | prrulez |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{x\rightarrow 2} (\bruch{1}{2-x} [/mm] - [mm] \bruch{12}{8-x^{3}}) [/mm] |
Zur Aufgabenlösung darf KEINE Differentialrechnung verwendet werden, also kein l'Hospital.
Mein Ansatz war, beide Brüche auf einen Nenner zu bringen, zusammenzufassen, und im Z und N jeweils die höchste Potenz zu faktorisieren, da komm ich aber auf den Grenzwert 0.
Hat da irgendwer einen Ansatz für mich? Die Lösung sollte -1/2 sein
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm]\limes_{x\rightarrow 2} (\bruch{1}{2-x}[/mm] -
> [mm]\bruch{12}{8-x^{3}})[/mm]
> Zur Aufgabenlösung darf KEINE Differentialrechnung
> verwendet werden, also kein l'Hospital.
>
> Mein Ansatz war, beide Brüche auf einen Nenner zu bringen,
Hallo,
so habe ich auch begonnen. Ist Dir klar, daß der Hauptnenner [mm] 8-x^3 [/mm] ist?
Im Zähler kannst Du später (x-2) ausklammern, denn der Zähler hat für x=2 eine Nullstelle.
Nun mit (x-2) kürzen, und Du bist ganz nah am Ergebnis.
Gruß v. Angela
> zusammenzufassen, und im Z und N jeweils die höchste Potenz
> zu faktorisieren, da komm ich aber auf den Grenzwert 0.
P.S.: Es wäre besser, würdest Du das, was Du erklärst, vormachen. So könnte man gleich sehen, wie's gemeint ist und wo ein eventueller Fehler liegt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Di 02.01.2007 | | Autor: | prrulez |
Hi,
danke für deine Antwort, dass [mm] 8-x^{3} [/mm] der Hauptnenner ist, hab ich nicht gesehen, krieg ich aber auch jetzt, wo ichs weiss, nicht hin :D
Mit was kann ich denn 2-x multiplizieren, um auf [mm] 8-x^{3} [/mm] zu kommen?
Bis jetzt hab ich meinen Ansatz immer hingeschrieben, da ich aber glaube, dass ich irgendwas völlig falsch mache, hab ichs diesesmal einfach gelassen ;)
Hab als Hauptnenner beide Nenner multipliziert, das wäre dann, schon ausmultipliziert:
[mm] \bruch{-x^{3}-12x+32}{x^{4}-2x^{3}-8x+16}
[/mm]
Da ich keine Ahnung hab, wies dann weitergeht, hab ich einfach ma nach Gefühl oben [mm] x^{3} [/mm] und unten [mm] x^{4} [/mm] ausgeklammert und gekürzt, man erhält:
[mm] \bruch{-1-\bruch{12}{x^{2}}+\bruch{32}{x^{3}}}{x*(1-\bruch{2}{x}-\bruch{8}{x^{3}}+\bruch{16}{x^{4}})}
[/mm]
Zähler und Nenner gehen dann beide gegen 0, also ist der Grenzwert hier 0, was aber leider falsch ist..
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[mm]\bruch{-1-\bruch{12}{x^{2}}+\bruch{32}{x^{3}}}{x*(1-\bruch{2}{x}-\bruch{8}{x^{3}}+\bruch{16}{x^{4}})}[/mm]
>
> Zähler und Nenner gehen dann beide gegen 0, also ist der
> Grenzwert hier 0
Huh! Hiiiiiiiiilfe! Halt!!!!
Dieser Schluß ist völlig falsch!
Du hast die Situation [mm] \bruch{0}{0}, [/mm] weißt also üüüüüberhaupt gar NICHTS.
dass [mm]8-x^{3}[/mm] der Hauptnenner ist,
> hab ich nicht gesehen, krieg ich aber auch jetzt, wo ichs
> weiss, nicht hin :D
> Mit was kann ich denn 2-x multiplizieren, um auf [mm]8-x^{3}[/mm]
> zu kommen?
Normalerweise bekommt man eine Antwort auf solche Fragen durch Polynomdivision. Es ist genau wie 3*?=51. Da rechnet man ?=51:3.
[mm] (8-x^3):(2-x)=(x^3-8):(x-2)=x^2+2x+4
[/mm]
[mm] \underline{-(x^3-2x^2)}
[/mm]
[mm] 2x^2-8
[/mm]
[mm] \underline{-(2x^2-4x)}
[/mm]
4x-8
-(4x-8)
0
Oder Du rechnest [mm] (2-x)(ax^2+bx+c)=8-x^3 [/mm] (Koeffizientenvergleich)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Di 02.01.2007 | | Autor: | prrulez |
Haiaiai, hab ich seit meinem LK viel verlernt :D
Naja, aber es kommt langsam wieder, Polynomdivision war kein Problem, hab aber immer noch irgendwo einen Fehler drin:
Zusammengefasst komme ich auf folgenden Term:
[mm] \bruch{x^{2}+2x-8}{8-x^{3}}
[/mm]
Dann, wie von dir schon erwähnt, (x-2) faktorisieren und kürzen (kann man Nullstellen des Zählers generell bedenkenlos rauskürzen?):
[mm] \bruch{x+4}{x^{2}+2x+4}
[/mm]
Der Zähler geht gegen 6, der Nenner gegen 12, also [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] oder ist das auch ein Trugschluss? Und wenn nicht, wo ist das minus hin?
Danke dir schon mal für die Mühe ;)
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> Zusammengefasst komme ich auf folgenden Term:
>
> [mm]\bruch{x^{2}+2x-8}{8-x^{3}}[/mm]
[mm] =\bruch{(2-x)(-4-x)}{(2-x)(x^2+2x+4}
[/mm]
Gruß v. Angela
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