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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:12 Do 06.04.2017 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | <br>
Sei [mm](X_n)[/mm] eine Folge von poissonverteilten ZV mit Parameter n ([mm]n\in\mathbb N[/mm])
Zeigen Sie:
[mm]\lim_{n\to\infty}P(X_n1 \end{cases}[/mm] |
<br>
Hallo zusammen,
mein erster Gedanke war, dass man es mit ZGWS lösen könnte, a la:
[mm]P(X_n
Für [mm]n\to\infty[/mm] würde sich dann die Aussage ergeben, da [mm]\Phi[/mm] stetig ist.
Allerdings glaube ich, dass ich die Normalapproximation im 2.Schritt nicht so durchführen kann, da ich ja dafür eigentlich bereits n gegen unendlich laufen lasse.
Kann mir da jemand helfen?
Vielen Dank :)
LG
Fry
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Hallo,
du könntest mit der Tschebyscheff-Ungleichung argumentieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Do 06.04.2017 | | Autor: | Fry |
Hey,
danke dir.
Also für t>1 klappt das, aber
für t<1 nicht, da (t-1)n negativ ist.
Dann kann ja die Tschebyscheff-Ungleichung nicht angewendet werden.
Wie könnte man es denn im Fall t<1 machen?
VG
Fry
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Hallo nochmal,
> Hey,
>
> danke dir.
> Also für t>1 klappt das, aber
> für t<1 nicht, da (t-1)n negativ ist.
> Dann kann ja die Tschebyscheff-Ungleichung nicht
> angewendet werden.
Doch. Tschebyscheff gibt eine Abschätzung für [mm]P(|X-EX|\ge a)[/mm].
Durch den Betrag wird alles positiv.
> Wie könnte man es denn im Fall t<1 machen?
>
> VG
> Fry
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Fr 07.04.2017 | | Autor: | Fry |
Hey,
da wird doch nichts positiv.
[mm] $P(X_n\ge tn)\le P(X_n-n\ge (t-1)n)\le P(|X_n-n|\ge [/mm] (t-1)n)$
Die Tschebyscheff-Ungleichung gilt aber nur, wenn bei [mm] P(|X-E(X)|\ge \varepsilon) [/mm] das [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ist. Ist es aber nicht.
Allerdings muss ja [mm] $P(|X_n-n|\ge [/mm] (t-1)n)=0$ sein, da der Betrag nichtnegativ ist. Aber damit gewinnt man letzlich nix.
LG
Fry
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Hiho,
> Hey,
>
> da wird doch nichts positiv.
> [mm]P(X_n\ge tn)\le P(X_n-n\ge (t-1)n)\le P(|X_n-n|\ge (t-1)n)[/mm]
>
> Die Tschebyscheff-Ungleichung gilt aber nur, wenn bei
> [mm]P(|X-E(X)|\ge \varepsilon)[/mm] das [mm]\varepsilon>0[/mm] ist. Ist es
> aber nicht.
Das liegt einfach daran, dass du ungünstig abschätzt!
Nur ist deine Schlussfolgerung falsch:
> Allerdings muss ja [mm]P(|X_n-n|\ge (t-1)n)=0[/mm] sein, da der Betrag nichtnegativ ist.
Nein, wie du richtig erkannt hast, ist der Betrag nichtnegativ, die rechte Seite aber negativ.
D.h. da steht eine immer wahre Aussage, also gilt: [mm]P(|X_n-n|\ge (t-1)n)=1[/mm]
Was du also eigentlich abgeschätzt hast, ist:
$ [mm] P(X_n\ge tn)\le P(X_n-n\ge (t-1)n)\le [/mm] 1 $
Das ist aber eine triviale Abschätzung…
Mal ein kleiner Denkanstoss:
$ [mm] P(X_n \ge [/mm] tn) = P(-tn [mm] \ge -X_n) [/mm] = P(n - tn [mm] \le [/mm] n - [mm] X_n) [/mm] = P(n - [mm] X_n \ge [/mm] (1-t)n) [mm] \le P(|X_n [/mm] - n| [mm] \ge [/mm] (1-t)n)$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 Fr 07.04.2017 | | Autor: | Fry |
Supi,
danke Gono :)
LG
Fry
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