Grenzwertberechnung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 So 16.04.2006 | | Autor: | Karl123 |
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Hallo!
Könnt ihr mir sagen, ob folgende Aufgabe richtig gelöst ist?
- Berechnen Sie den Grenzwert folgender Reihe:
∑(von k=1 bis ∞) = 1/(k*(k-1))
Der Grenzwert berechnet sich doch nach der Formel 1/(1-q), wobei q hier gleich 1/2 ist, oder?
Meine Lösung:
[mm] \summe_{k=1}^{ \infty} [/mm] = 1/(k*(k-1)) = 0 + 1/2 + 1/6 + 1/12 + ...
= 1/(1-(1/2)) = 2
Jetzt kommt aber für k=1 ein nicht definierter Betrag (1/0) raus. Was mache ich da?
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:40 So 16.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Karl
> Hallo!
> Könnt ihr mir sagen, ob folgende Aufgabe richtig gelöst
> ist?
Falsch gelöst!
> - Berechnen Sie den Grenzwert folgender Reihe:
> ∑(von k=1 bis ∞) = 1/(k*(k-1))
>
> Der Grenzwert berechnet sich doch nach der Formel 1/(1-q),
> wobei q hier gleich 1/2 ist, oder?
Nein, das ist der GW von [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}q^k[/mm]
> Meine Lösung:
> [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}[/mm] = 1/(k*(k-1)) = 0 + 1/2 + 1/6 +
> 1/12 + ...
keine zweirpotenzen!
> = 1/(1-(1/2)) = 2
>
> Jetzt kommt aber für k=1 ein nicht definierter Betrag (1/0)
> raus. Was mache ich da?
Wenn die Summe wirklich von 1 anfängt, und im Nenner nicht k*(k+1)steht ist sie nicht definiert. Sieh die Aufgabenstellung noch mal nach! sonst ist die Lösg einfach: nicht definiert!
Gruss und schöne Ostern leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 So 16.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Karl!
Von leduarts Einwand bezüglich Startwert und/oder dem Vorzeichen in der Summe mal abgesehen, lässt sich dies Reihe sonst in eine sogenannte Teleskopreihe zerlegen:
[mm] $\bruch{1}{k*(k-1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{k-1}-\bruch{1}{k}$ [/mm] bzw. [mm] $\bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+1}$
[/mm]
Damit eliminieren sich nämlich die meisten Reihenglieder und der entsprechende Grenzwert lässt sich schnell bestimmen.
Gruß
Loddar
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