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Ich brauche ganz dringend eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Kann mir bitte jemand erklären, wie man ganz allgemein Grenzwerte berechnet? Am Beispiel
lim (sin3x) / (sin2x) <---------- soll ein Bruch sein
x->0
wäre es ganz gut.
Danke schon mal jetzt, Caro
Ich schreibe donnerstag Klausur über eben diese Thema, wäre nett vorher hilfreiche Antworten zu bekommen....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:52 Di 21.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Caro!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich kann dir einige Regeln für die Grenzwertberechnung nahelegen, erklären werde ich sie dir dann später an deinem Beispiel.
Also los.
Beginnen wir mit einer ganz elementaren Regel, der Regel für den Grenzwert einer Summe:
Hast du eine Summe (oder auch eine Differenz) von einzelnen Funktionen und sollst ihren Grenzwert bilden, so kannst du die Grenzwerte der einzelnen Summenglieder einzeln berechnen und die Grenzwerte am Ende addieren.
Hier ein kleines Beispiel:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 2}{\left( x^2+2x-2\right)}$
[/mm]
Hier kannst du die Summanden [mm] $x^2$, [/mm] $2x$ sowie $2$ als einzelne Funktionen betrachten. Nach der Regel kannst du ihre Grenzwerte dann separat berechnen:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 2}{\left( x^2+2x-2\right)}=\limes_{x\rightarrow 2}{x^2}+\limes_{x\rightarrow 2}{2x}-\limes_{x\rightarrow 2}{2}$
[/mm]
Beim Ausrechnen gibt es hier keine Probleme, du kannst also für $x$ einfach den Grenzwert einsetzen und erhältst als Ergebnis:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 2}{\left( x^2+2x-2\right)}=4+4-2=6$
[/mm]
Für ein Produkt gilt eine analoge Regel wie die zur Berechnung des Grenzwertes einer Summe. Auch hier kannst du die Glieder separat betrachten, allerdings unter der Bedingung, dass für die einzelnen Faktoren ein Grenzwert existiert. Falls du dazu eine Frage hast, kannst du sie gerne stellen.
Genau das gleiche gilt auch für die Berechnung des Grenzwertes eines Quotienten (du siehst: die Regeln ähneln sich sehr): du darfst für Zähler und Nenner den Grenzwert getrent berechnen und als gesamten Grenzwert den Quotienten beider Teilgrenzwerte angeben.
Dir könnten diese Regel alle ein wenig verkomplizierend vorkommen und du mögest dich auch fragen: "Kann ich denn hier nicht einfach für $x$ die Grenze einsetzen"? Ja, du hast völlig recht. Manchmal benötigen wir die obigen Regel gar nicht und können einfach für $x$ den entsprechenden Wert einsetzen. Das kannst du auch recht gut an meinem ersten Beispiel sehen. Das hätte ich auch ohne die Zerlegung in drei einzelne Grenzwerte lösen können.
Nun aber zu einer sehr wichtigen Regel, der Regel von Hospital:
Wenn du einen Ausdruck hast, der eben durch Einsetzen des entsprechenden $x$ oder aus sonstigen Gründen die Form [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] oder [mm] $\frac{\infty}{\infty}$ [/mm] annimmt, so ist es dir nach der Regel von Hospital erlaubt, für den Grenzwert des Quotienten Zähler und Nenner abzuleiten und den Grenzwert des entstandenen Bruches zu bilden. Wenn diese wiederum eine der zwei obigen Formen hat, so kannst du die Regel erneut anwenden, und zwar genau so lange, bis du mit dem entstandenen Bruch durch die anderen Regeln ein vernünftiges Ergebnis herleiten kannst.
Und damit das auch ein wenig sackt, rechnen wir jetzt mal dein Beispiel mit der Regel von Hospital:
Du hattest folgenden Bruch: [mm] $\frac{sin(3x)}{sin(2x)}$ [/mm] und solltest ihn für den Grenzwert [mm] $\limes_{x\to 0}$ [/mm] berechnen. Du siehst: wenn du für $x$ einfach $0$ einsetzt, dann erhältst du einen Term der Form [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] (wegen $sin(0)=0$). Folglich musst du also die Regel von Hospital anwenden, d.h. Zähler und Nenner differenzieren/ableiten. Es gilt also:
[mm] $\limes_{x\to 0}{\frac{sin(3x)}{sin(2x)}}=\limes_{x\to 0}{\frac{(sin(3x))'}{(sin(2x))'}}=\limes_{x\to 0}{\frac{3\cdot cos(3x)}{2\cdot cos(2x)}}$
[/mm]
Hier wiederum können wir nun die Quotientenregel anwenden. Zuvor allerdings können wir den konstanten Faktor [mm] $\frac{3}{2}$ [/mm] vor den Grenzwert ziehen:
[mm] $\limes_{x\to 0}{\frac{3\cdot cos(3x)}{2\cdot cos(2x)}}=\frac{3}{2}\cdot\frac{\limes_{x\to 0}{cos(3X)}}{\limes_{x\to 0}{cos(2x)}}$
[/mm]
Hier können wir nun für $x$ einfach den gewünschten Grenzwert $0$ einsetzen, da $cos(0)=1$ gilt. Es ergibt sich also:
[mm] $\frac{3}{2}\cdot\frac{\limes_{x\to 0}{cos(3X)}}{\limes_{x\to 0}{cos(2x)}}=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{1}=\frac{3}{2}$
[/mm]
Damit ist der Grenzwert berechnet.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Wenn noch etwas unklar ist, dann frag bitte nach. Ansonsten: viel Erfolg!
Gruß,
Hanno
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Lieber Hanno,
wenn ich bösartig bin (und das nehme ich mir jetzt einmal einfach ganz frech heraus), dann muß ich dich korrigieren. Richtig ist es so:
[mm]\lim_{x \to 2}x^2+2x-2=4+2x-2=2+2x[/mm]
Worauf ich hinaus will: Klammern sind kein Luxus! Bitte Klammern setzen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 Mi 22.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Leopold!
Oh, ich werde es sofort korrigieren. Danke für den Hinweis!
Gruß,
Hanno
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