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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 Di 05.03.2013 | | Autor: | hilosha |
| Aufgabe | | Folge auf Konvergenz untersuchen und Grenzwert bestimmen. |
Hey,
ich bin hier neu, da ich bei 3 sehr ähnlichen Aufgaben nicht voran komme und übermorgen schon die Klausur ist :(( Ich hoffe, hier kann mir geholfen werden.
Und zwar:
1.) [mm] \bruch{4^n+1}{5^n}
[/mm]
2.) [mm] \bruch{2^n+3^n}{5^n}
[/mm]
3.) [mm] \bruch{5^n}{2^n+3^n}
[/mm]
Allgemein, muss ich hier eine Fallunterscheidung machen, da ja n negativ oder auch positiv sein kann oder auch gleich Null?
zu 1.)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{4^n+1}{5^n}
[/mm]
Konvergiert die Folge gegen Null, da [mm] 5^n [/mm] schneller wächst als [mm] 4^n [/mm] ?
Darf man dies so begründen?
zu 2.)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2^n+3^n}{5^n}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^n}{5^n}+ \bruch{3^n}{5^n}
[/mm]
Konvergiert gegen Null, gleiche Begründung wie bei 1.)
zu 3.)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{5^n}{2^n+3^n} [/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{(2^n+3^n)/5^n} [/mm]
das hier sollte ein doppelbruch sein, ich habe hier durch [mm] 5^n [/mm] geteilt, dann ginge der Nenner bei [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] zu Null, und die Folge würde divergieren.
Danke für Korrekturen und Denkanstöße!
LG, Hilosha
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo hilosha, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
ganz kurz: Deine Überlegungen sind alle richtig.
> Folge auf Konvergenz untersuchen und Grenzwert bestimmen.
> Hey,
>
> ich bin hier neu, da ich bei 3 sehr ähnlichen Aufgaben
> nicht voran komme und übermorgen schon die Klausur ist :((
> Ich hoffe, hier kann mir geholfen werden.
> Und zwar:
> 1.) [mm]\bruch{4^n+1}{5^n}[/mm]
>
> 2.) [mm]\bruch{2^n+3^n}{5^n}[/mm]
>
> 3.) [mm]\bruch{5^n}{2^n+3^n}[/mm]
>
> Allgemein, muss ich hier eine Fallunterscheidung machen, da
> ja n negativ oder auch positiv sein kann oder auch gleich
> Null?
>
> zu 1.)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{4^n+1}{5^n}[/mm]
>
> Konvergiert die Folge gegen Null, da [mm]5^n[/mm] schneller wächst
> als [mm]4^n[/mm] ?
> Darf man dies so begründen?
Ja, das darf man. Du kannst auch aus Zähler und Nenner jeweils [mm] 5^n [/mm] herauskürzen.
> zu 2.)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2^n+3^n}{5^n}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^n}{5^n}+ \bruch{3^n}{5^n}[/mm]
>
> Konvergiert gegen Null, gleiche Begründung wie bei 1.)
Gleiche Antwort wie bei 1.) 
> zu 3.)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{5^n}{2^n+3^n}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{(2^n+3^n)/5^n}[/mm]
> das hier sollte ein doppelbruch sein, ich habe hier durch
> [mm]5^n[/mm] geteilt, dann ginge der Nenner bei
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] zu Null, und die Folge würde
> divergieren.
Das ist offensichtlicher, wenn Du hier [mm] 3^n [/mm] herauskürzt.
Deine Überlegung stimmt aber auch so.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Di 05.03.2013 | | Autor: | hilosha |
Wow, super vielen Dank für die schnelle Antwort.
Nun noch eine weitere Frage, muss ich jetzt auch noch eine Fallunterscheidung machen? ich habe ja plus unendlich einfach überprüft, muss ich nun auch -unendlich überprüfen?
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Hallo und
> Wow, super vielen Dank für die schnelle Antwort.
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> Nun noch eine weitere Frage, muss ich jetzt auch noch eine
> Fallunterscheidung machen? ich habe ja plus unendlich
> einfach überprüft, muss ich nun auch -unendlich
> überprüfen?
Da es um Folgen geht, ist [mm] n\in\IN [/mm] und eine Untersuchung für n -> [mm] -\infty [/mm] damit völlig witzlos.
Gruß, Diophant
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