Grenzwertberechnung ^2n < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 Do 15.07.2010 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert und Reihenwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}4^n\left( \bruch{n}{2n+2}\right)^{2n+1} [/mm] |
Hallo,
ich muss es irgendwie lernen einen Blick für die Potenzen zu bekommen.
So komme ich auf: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}4^n\cdot\left[\left( \bruch{n}{2n+2}\right)^{2n}\cdot\bruch{n}{2n+2}\right]
[/mm]
Was kann ich weiter mit dem Ausdruck [mm] \left( \bruch{n}{2n+2}\right) [/mm] machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 Do 15.07.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Hol klammer in dem Bruch am besten mal eine 2 aus und ziehe diese dann aus der Potenz.
Also [mm] (\bruch{n}{2n+2})^{2n+1}= (\bruch{1}{2}*\bruch{n}{n+1})^{2n+1}=\bruch{1}{2^{2n+1}}*(\bruch{n}{n+1})^{2n+1}. [/mm] Den 1. Faktor [mm] \bruch{1}{2^{2n+1}} [/mm] kannst du auch prima mit dem [mm] 4^n [/mm] verrechnen, da sich die Terme schon fast wegheben.
Beim Term [mm] (\bruch{n}{n+1})^{2n+1} [/mm] sollte dir dann die Folge [mm] (1+\bruch{a}{n})^n [/mm] in den Sinn kommen, die gegen [mm] e^a [/mm] konvergiert. Deinen Term kannst du auch in so eine Form bringen.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Do 15.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Danke, dann habe ich schon mal etwas gewonnen:
[mm] \bruch{1}{2}\cdot{}(\bruch{n}{n+1})^{2n}\cdot(\bruch{n}{n+1})
[/mm]
Jetzt stören mich nur noch die 2n als Potenz. Gibts da keinen Trick für? Ich ärger mich über mich selbst, dass ich das nicht sehe.
Kann ich auch [mm] \left(\bruch{n}{n+1}\right)^{2n} [/mm] als [mm] \left(\bruch{n^2}{(n+1)^2}\right)^{n} [/mm] schreiben?
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Hallo Izaman,
> Danke, dann habe ich schon mal etwas gewonnen:
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> [mm]\bruch{1}{2}\cdot{}(\bruch{n}{n+1})^{2n}\cdot(\bruch{n}{n+1})[/mm]
>
> Jetzt stören mich nur noch die 2n als Potenz. Gibts da
> keinen Trick für? Ich ärger mich über mich selbst, dass
> ich das nicht sehe.
Schreibe obiges mit Hilfe von
[mm]\bruch{n}{n+1}=\left(\bruch{n+1}{n}\right)^{-1}=\left(1
+\bruch{1}{n}\right)^{-1}[/mm]
um.
>
> Kann ich auch [mm]\left(\bruch{n}{n+1}\right)^{2n}[/mm] als
> [mm]\left(\bruch{n^2}{(n+1)^2}\right)^{n}[/mm] schreiben?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Do 15.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Danke, aber das bringt mich nicht weiter:
[mm] \bruch{1}{2}\cdot\left(1 +\bruch{1}{n}\right)^{-2n}\left(1 +\bruch{1}{n}\right)^{-1}
[/mm]
Was übersehe ich die ganze Zeit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Do 15.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Potenzgesetze im Kopf zu haben wäre von Vorteil:
[mm] a^{b*c} [/mm] = [mm] (a^{b})^{c}
[/mm]
Mach da mal sowas mit -2n...
[mm] \bruch{1}{2}\cdot\left(1 +\bruch{1}{n}\right)^{-2n}\left(1 +\bruch{1}{n}\right)^{-1}
[/mm]
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Do 15.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Sorry, ich habe die Potenzgesetze seit Anfang der Aufgabe vor mir liegen und komme nach deiner Auskunft zu dieser Gleichung:
[mm] \left[\left(1 +\bruch{1}{n}\right)^{-2}\right]^n [/mm]
Ich bin einfach zu blöd dazu. Das ärgert mich gewaltig. Aber Mathe ist Geduld und die bringe ich mit.
Muss ich denn jetzt noch den binomischer Lehrsatz anwenden? Das wird mir einfach zu viel!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Do 15.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Umgekehrt! Haha!:D
Du kennst doch den Ausdruck für die Zahl e, oder??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Do 15.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Ja,
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left[\left(1 +\bruch{1}{n}\right)^{-n}\right]^2=(\bruch{1}{e})^{2} [/mm]
meintest du das so? So langsam kommt ein Lichtblick in den Abend herein.
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{1}{e}\right)^{2}\cdot\left(\bruch{n}{2n+2}\right)
[/mm]
Hab aber immer noch n's drin...
Ah , jetzt Grenzwertsätze:
[mm] \bruch{1}{2}\cdot\limes_{n\rightarrow\infty}\left[\left(1 +\bruch{1}{n}\right)^{-n}\right]^2\cdot\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{n}{n+1}\right)=\bruch{1}{2e^{2}}
[/mm]
Ist das nun richtig?
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Hallo.
> Ja,
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left[\left(1 +\bruch{1}{n}\right)^{-n}\right]^2=(\bruch{1}{e})^{2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> meintest du das so? So langsam kommt ein Lichtblick in den
> Abend herein.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{1}{e}\right)^{2}\cdot\left(\bruch{n}{2n+2}\right)[/mm]
>
> Hab aber immer noch n's drin...
>
> Ah , jetzt Grenzwertsätze
Genau, beides konvergiert, das erste Ding gegen [mm] $\frac{1}{e^2}$, [/mm] für das hintere Ding berechne [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{2n+2}$
[/mm]
Wie immer in solchen Fällen die höchste Potenz von n ausklammern in Zähler und Nenner.
Insgesamt also [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{e^2}\cdot{}\frac{n}{2n+2}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{e^2}\cdot{}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{2n+2}=\ldots$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Do 15.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Hierzu gibts aber keinen Reihenwert oder, der taucht doch nur bei Summen auf?
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Hi Izaman,
> Hierzu gibts aber keinen Reihenwert oder, der taucht doch
> nur bei Summen auf?
Ganz Recht. $\ [mm] a_n [/mm] $ hat nur einen Grenzwert (vorausgetzt $\ [mm] a_n [/mm] $ ist konvergent)
Betrachte also die Folge der Partialsummen ( = Reihe) $\ [mm] \sum a_n [/mm] $.
Diese hat einen Reihenwert, vorausgetzt(!) $\ [mm] \lim a_n [/mm] = 0 $.
Bringe also zunächst deine Grenzwertbetrachtung zu Ende und widme dich anschliessend der Reihe.
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Do 15.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Die Aufgabe ist somit gelöst:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}4^n\left( \bruch{n}{2n+2}\right)^{2n+1}=\bruch{1}{2}\cdot\limes_{n\rightarrow\infty}\left[\left(1 +\bruch{1}{n}\right)^{-n}\right]^2\cdot\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{n}{n+1}\right)=\bruch{1}{2e^{2}} [/mm] $
oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Do 15.07.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo lzaman!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:35 Fr 16.07.2010 | | Autor: | lzaman |
I'm so ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
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