Grenzwertberechnung Nr. 2 < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechne [mm] $\limes_{x\rightarrow-\infty}\bruch{\wurzel{6x^3-8x^2+2}}{\wurzel{6x^3-7x^2-3}}! [/mm] |
Stimmt es dass dieser Grenzwert 1 ist? Habe mir dieses Ergebnis ùberlegt, da ja Grad Nenner=Grad Zàhler und -6 durch -6 1 ergibt.
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Hallo,
> Berechne
> [mm]$\limes_{x\rightarrow-\infty}\bruch{\wurzel{6x^3-8x^2+2}}{\wurzel{6x^3-7x^2-3}}![/mm]
> Stimmt es dass dieser Grenzwert 1 ist? Habe mir dieses
> Ergebnis ùberlegt, da ja Grad Nenner=Grad Zàhler und -6
> durch -6 1 ergibt.
Nein, so wie das dasteht, stimmt es nicht. Denn der Grenzwert existiert überhaupt nicht, da beide Radikanden gegen [mm] -\infty [/mm] streben.
Gruß, Diophant
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Hallo,
wo bleibt der freundliche Ton?
> Berechne
> [mm]$\limes_{x\rightarrow-\infty}\bruch{\wurzel{6x^3-8x^2+2}}{\wurzel{6x^3-7x^2-3}}![/mm]
> Stimmt es dass dieser Grenzwert 1 ist? Habe mir dieses
> Ergebnis ùberlegt, da ja Grad Nenner=Grad Zàhler und -6
> durch -6 1 ergibt.
Ich denke schon, dass das im Ergebnis stimmt, es ist ja dein Ausdruck
[mm]=\sqrt{\frac{6x^3-8x^2+2}{6x^3-7x^2-3}}=\sqrt{\frac{1-\frac{4}{3x}+\frac{1}{3x^3}}{1-\frac{7}{6x}-\frac{1}{2x^3}}} \ \longrightarrow \sqrt{\frac{1-0+1}{1-0-0}}=\sqrt{1}=1[/mm] für [mm]x\to -\infty[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Sorry Schachuzipus, bin ein bisschen in Eile. Tut mir leid, meistens bin ich schon freundlicher 
Danke danke fùr eure Bemùhungen und schònen Abend noch!
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 20:47 Do 19.04.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo schauzipus,
ich denke, mit der Attestierung der Richtigkeit, also das dieser Grenzwert gleich -1 ist, sitzt du einem Denkfehler auf, dem auch schon solche Köpfe wie Euler auf den Leim gegangen sind:
so lange die beiden Wurzeln nicht zusammengefasst sind, stehen da im Zähler und im Nenner - zumindest unterhalb eines gewissen endlichen x-Wertes - komplexe Zahlen. Jetzt verwendest du
[mm] \bruch{\wurzel{a}}{\wurzel{b}}=\wurzel{\bruch{a}{b}},
[/mm]
was aber grundsätzlich nur im Reellen gilt.
Von daher bleibe ich bei meiner Einschätzung, dass der Grenzwert nicht existiert.
Gruß, Diophant
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Hallo Diophant,
> Hallo schauzipus,
>
> ich denke, mit der Attestierung der Richtigkeit, also das
> dieser Grenzwert gleich -1 ist, sitzt du einem Denkfehler
> auf,
Niemand hat behauptet, der GW sei -1
Es war doch immer von +1 als GW die Rede?!
> dem auch schon solche Köpfe wie Euler auf den Leim
> gegangen sind:
>
> so lange die beiden Wurzeln nicht zusammengefasst sind,
> stehen da im Zähler und im Nenner - zumindest unterhalb
> eines gewissen endlichen x-Wertes - komplexe Zahlen. Jetzt
> verwendest du
>
> [mm]\bruch{\wurzel{a}}{\wurzel{b}}=\wurzel{\bruch{a}{b}},[/mm]
>
> was aber grundsätzlich nur im Reellen gilt.
Ja. Ich forme vor dem Grenzübergang um, kürze [mm] $6x^3$, [/mm] bilde den GW (nur des Bruchs), der ist 1, dann ist mit der Stetigkeit der Wurzel auch der "GesamtGW" +1
>
> Von daher bleibe ich bei meiner Einschätzung, dass der
> Grenzwert nicht existiert.
Und ich bei meiner 
>
>
> Gruß, Diophant
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 21:13 Do 19.04.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo Diophant,
>
>
> > Hallo schauzipus,
> >
> > ich denke, mit der Attestierung der Richtigkeit, also das
> > dieser Grenzwert gleich -1 ist, sitzt du einem Denkfehler
> > auf,
>
> Niemand hat behauptet, der GW sei -1
>
> Es war doch immer von +1 als GW die Rede?!
>
> > dem auch schon solche Köpfe wie Euler auf den Leim
> > gegangen sind:
> >
> > so lange die beiden Wurzeln nicht zusammengefasst sind,
> > stehen da im Zähler und im Nenner - zumindest unterhalb
> > eines gewissen endlichen x-Wertes - komplexe Zahlen. Jetzt
> > verwendest du
> >
> > [mm]\bruch{\wurzel{a}}{\wurzel{b}}=\wurzel{\bruch{a}{b}},[/mm]
> >
> > was aber grundsätzlich nur im Reellen gilt.
>
> Ja. Ich forme vor dem Grenzübergang um, kürze [mm]6x^3[/mm], bilde
> den GW (nur des Bruchs), der ist 1, dann ist mit der
> Stetigkeit der Wurzel auch der "GesamtGW" +1
>
> >
> > Von daher bleibe ich bei meiner Einschätzung, dass der
> > Grenzwert nicht existiert.
>
> Und ich bei meiner
>
>
> >
> >
> > Gruß, Diophant
>
> LG
>
> schachuzipus
>
Hallo Schachuzipus,
da steckt schon eine gewisse Logik dahinter:
Wenn man den Bruch [mm]\bruch{undefiniert}{undefiniert}[/mm] mit dem Faktor [mm]undefiniert[/mm] kürzt, kommt 1 raus. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Gruß Abakus
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Und wenn die Grenzwertberechnung in [mm] $\IR$ [/mm] erfolgt, stimmt das Ergebnis 1 dann?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 Do 19.04.2012 | | Autor: | abakus |
> Und wenn die Grenzwertberechnung in [mm]\IR[/mm] erfolgt, stimmt das
> Ergebnis 1 dann?
In R ist der Term für "sehr" negative Werte UNDEFINIERT, also kann der Grenzwert gegen minus unendlich nicht gebildet werden. Wenn er nicht existiert, kann er auch nicht 1 sein.
Gruß Abakus
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Hallo abakus,
wie erklärst du dir (und vor allem mir) dann, dass die beiden Programme Derive und Mathematica sagen, dass der GW 1 ist?
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:43 Fr 20.04.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo abakus,
>
> wie erklärst du dir (und vor allem mir) dann, dass die
> beiden Programme Derive und Mathematica sagen, dass der GW
> 1 ist?
Das erkläre ich mit der Unzulänglichkeit der genannten Programme.
Die haben offensichtlich Algorithmen, die ERST Termvereinfachungen vornehmen und dann erst Grenzwerte ermitteln (die im unvereinfachten Term nicht existieren).
Gruß Abakus
>
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Do 19.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sonnenblume!
Um es mal etwas zusammenzufassen: die Aufgabenstellung hat nur dann Sinn bzw. besitzt dann einen Grenzwert (und zwar die vielzitierte [mm]+1_[/mm] ), wenn es im Original lauten würde:
[mm]$\limes_{x\rightarrow-\infty}\wurzel{\bruch{6x^3-8x^2+2}{6x^3-7x^2-3}}[/mm]
Dann könnte man die Umformung wie von schachuzipus vorgeschlagen auch vornehmen.
Oder soll hier gar der Grenzwert für [mm]x\rightarrow\red{+}\infty[/mm] untersucht werden?
Dann wäre die gesamte obige Diskussion hinfällig.
Gruß
Loddar
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Danke Loddar.
Nein, ich soll schon den Grenzwert fùr [mm] $-\infty$ [/mm] berechnen.
Kann ich in [mm] $\IR$ [/mm] nicht 2 getrennte Wurzeln in eine zusammenfassen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Do 19.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sonnenblume!
> Kann ich in [mm]\IR[/mm] nicht 2 getrennte Wurzeln in eine zusammenfassen?
Das kannst Du schon machen. Aber Du musst dann auch stets den ursprünglichen Definitionsbereiches der Ausgangstermes im Auge behalten.
Und dieser Ausgangsterm ist halt für sehr kleine x (sprich: für [mm] $x\rightarrow-\infty$ [/mm] ) nicht definiert.
Gruß
Loddar
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Ja stimmt, und wenn von vornherein die Wurzeln getrennt sind, stimmt dann Grenzwert 1?
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Hallo Sonnenblume2401,
> Ja stimmt, und wenn von vornherein die Wurzeln getrennt
> sind, stimmt dann Grenzwert 1?
Wenn das so ist, wie mein Vorredner geschrieben hat,
dann stimmt der Grenzwert.
Steht hier aber [mm]\limes_{x \to -\infty}\bruch{\wurzel{..}}{{\wurzel{..}}[/mm],
so sind die Wurzeln aus negativen Zahlen nicht definiert,
wenn man sich im Bereich der reellen Zahlen bewegt.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Do 19.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sonnenblume!
Sorry, aber diese Rückfrage lässt den Verdacht zu, dass Du die vorigen Antworten nicht (sehr aufmerksam) gelesen hast.
Gruß
Loddar
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