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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Mi 16.04.2014 | | Autor: | Leon25 |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{x \to 2}\bruch{x^2-2^x}{2^x-2^2} [/mm] |
Hallo,
kurz vorweg ich lasse x gegen 2 laufen nur konnte ich das nicht richtig darstellen.
Da man bei der Grenzwertberechnung auf auf das Problem stößt dass Zähler und Nenner 0 werden und man [mm] \bruch{0}{0} [/mm] bekommt müsste man ja den Satz von l'Hospital anwenden können.
Zum einen bin ich mir nicht sicher ob ich die Bedingungen richtig prüfe und dann komm ich auch in der Rechnung selbst nicht weiter. Dass ich die Bedingungen formal korrekt prüfen kann ist mir wichtig da in der anstehenden Klausur darauf Wert gelegt wird.
Nun mal was ich bisher fabriziert habe:
[mm] \limes_{x \to \x_2}\bruch{x^2-2^x}{2^x-2^2}
[/mm]
Prüfen der Bedingungen:
sei f(x)= [mm] x^2-2^x [/mm] und [mm] g(x)=2^x-2^2 [/mm] ;f(2)=g(2)=0
dann ist [mm] f'(x)=2x-2^x \cdot [/mm] ln2 und [mm] g'(x)=2^x \cdot [/mm] ln2
[mm] f'(x_0)=g'(x_0)=0 [/mm] ;das kann ja nicht erfüllt werden oder ?
Heißt das jetzt man kann l'Hospital nicht anwenden ?
Mit meinem TI Voyage 200 hab ich folgendes Ergebnis erhalten:
[mm] \limes_{x \to \x_2}\bruch{x^2-2^x}{2^x-2^2} [/mm] = [mm] \bruch{-(ln(2)-1)}{ln2}
[/mm]
Es wäre mir eine große Hilfe wenn mir jemand ggf. mit einem kurzen Beispiel formal richtig geprüfte Bedingungen für den Satz von l'Hospital zeigen könnte.
Natürlich möchte ich auch den Grenzwert berechnen können, also besteht auch (falls der Rechenweg mit l'Hospital nicht klappt) hier Klärungsbedarf.
Ich sag schon mal im voraus Vielen Dank !
Gruß Leon
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Leon25,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]\limes_{x \to \x_2}\bruch{x^2-2^x}{2^x-2^2}[/mm]
> Hallo,
> kurz vorweg ich lasse x gegen 2 laufen nur konnte ich das
> nicht richtig darstellen.
>
> Da man bei der Grenzwertberechnung auf auf das Problem
> stößt dass Zähler und Nenner 0 werden und man
> [mm]\bruch{0}{0}[/mm] bekommt müsste man ja den Satz von l'Hospital
> anwenden können.
>
> Zum einen bin ich mir nicht sicher ob ich die Bedingungen
> richtig prüfe und dann komm ich auch in der Rechnung
> selbst nicht weiter. Dass ich die Bedingungen formal
> korrekt prüfen kann ist mir wichtig da in der anstehenden
> Klausur darauf Wert gelegt wird.
>
> Nun mal was ich bisher fabriziert habe:
>
> [mm]\limes_{x \to \x_2}\bruch{x^2-2^x}{2^x-2^2}[/mm]
>
> Prüfen der Bedingungen:
>
> sei f(x)= [mm]x^2-2^x[/mm] und [mm]g(x)=2^x-2^2[/mm] ;f(2)=g(2)=0
>
Hier kannst Du noch L'Hospital anwenden.
> dann ist [mm]f'(x)=2x-2^x \cdot[/mm] ln2 und [mm]g'(x)=2^x \cdot[/mm] ln2
>
> [mm]f'(x_0)=g'(x_0)=0[/mm] ;das kann ja nicht erfüllt werden oder
> ?
>
> Heißt das jetzt man kann l'Hospital nicht anwenden ?
>
Da L'Hospital nicht mehr angewendet werden kann,
ist der hieraus der Grenzwert zu bestimmen.
> Mit meinem TI Voyage 200 hab ich folgendes Ergebnis
> erhalten:
> [mm]\limes_{x \to \x_2}\bruch{x^2-2^x}{2^x-2^2}[/mm] =
> [mm]\bruch{-(ln(2)-1)}{ln2}[/mm]
>
> Es wäre mir eine große Hilfe wenn mir jemand ggf. mit
> einem kurzen Beispiel formal richtig geprüfte Bedingungen
> für den Satz von l'Hospital zeigen könnte.
> Natürlich möchte ich auch den Grenzwert berechnen
> können, also besteht auch (falls der Rechenweg mit
> l'Hospital nicht klappt) hier Klärungsbedarf.
>
> Ich sag schon mal im voraus Vielen Dank !
> Gruß Leon
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Mi 16.04.2014 | | Autor: | Leon25 |
Darf ich l'Hospital anwenden obwohl man f'(x)=g'(x)=0 nicht erfüllen kann ?
Eigentlich heißt dass ja dass die Bedingungen nicht erfüllt sind oder liege ich da falsch ?
Wenn ich das mal ignoriere dann komm ich ja nach der Regel von l'Hospital auf
[mm] \limes_{x\rightarrow\x_2}\bruch{2x-2^x \cdot ln2}{2^x\cdot ln2}
[/mm]
aber dann wird der Zähler Term doch 0 und mein ganzer Grenzwert auch.
Den TI benutze ich nur um zu Überprüfen ob mein Ergebnis richtig ist die Aufgabe an sich muss ich ohne Taschenrechner lösen, das hätte ich vll dazu sagen sollen
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Hi,
> Darf ich l'Hospital anwenden obwohl man f'(x)=g'(x)=0 nicht
> erfüllen kann ?
> Eigentlich heißt dass ja dass die Bedingungen nicht
> erfüllt sind oder liege ich da falsch ?
Nein nein, also um die Regel von l'Hospital anwenden zu können, müssen die Bedingungen schon erfüllt sein. Ansonsten gehts eben nicht.
>
> Wenn ich das mal ignoriere dann komm ich ja nach der Regel
> von l'Hospital auf
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\x_2}\bruch{2x-2^x \cdot ln2}{2^x\cdot ln2}[/mm]
Ja ok.
>
> aber dann wird der Zähler Term doch 0 und mein ganzer
> Grenzwert auch.
Nun aber es ist doch [mm] f'(x)=2x-2^x\ln2 [/mm] und somit [mm] f'(2)=4-4\ln2\not=0
[/mm]
Bei dem obigen Grenzwert hast du doch gar keine Probleme mit dem Nenner. Dieser ist doch ungleich Null und somit kannst du den Wert x=2 einfach in den Term einsetzen. Fertig ist die Kiste 
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> Den TI benutze ich nur um zu Überprüfen ob mein Ergebnis
> richtig ist die Aufgabe an sich muss ich ohne
> Taschenrechner lösen, das hätte ich vll dazu sagen sollen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:06 Mi 16.04.2014 | | Autor: | Leon25 |
Ok jetzt hab ich meinen Denkfehler gefunden
Ich dachte [mm] f'(x_0)=g'(x_0)=0 [/mm] sei eine zwingende Voraussetzung.
Und Punkt vor Strich ist im Bezug hierzu [mm] f'(x)=2x-2^x\ln2 [/mm] auch ganz nützlich :)
Vielen Dank an alle für die schnelle Hilfe !
Gruß Leon
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