Grenzwertbestimmung < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe 1 | | [mm] \bruch{n-1}{n^{2}-1} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] \bruch{n^{2}-4}{(n-2)^{2}} [/mm] |
| Aufgabe 3 | | [mm] \bruch{4n^{4}-3n^{3}+2n^{2}-n}{n^{2}(2n-1)^{2}} [/mm] |
Zu 1: [mm] \bruch{n}{n^{2}-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^{2}-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^{2}-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n-\bruch{1}{n}} [/mm] = 0
Zu 2: Dort habe ich erst mal die Klammer im Nenner ausgerechnet
[mm] \bruch{n^{2}-4}{(n)^{2}-4n+4} [/mm]
und anschließend den "größten Exponenten" ausgeklammert
[mm] \bruch{n^{2}(1-\bruch{4}{n^{2}}}{n^{2}(1-\bruch{4}{n}+\bruch{4}{n^{2}}} [/mm] = 1
Wann ist es denn sinnvoll den Bruch auseinanderzuziehen wie ich es bei 1 getan habe und wann ist es sinnvoll, den größten Exponenten auszuklammern?
Zu 3: Dort habe ich den größten Exponenten ausgeklammert
[mm] \bruch{n^{4}(4-\bruch{3}{n}+\bruch{2}{n^{2}}-\bruch{1}{n^{3}}}{n^{4}(2n-1)} [/mm] Dann würde der Nenner ja immer noch gegen unendlich laufen, weshalb der Grenzwert der kompletten Folge ja = 0 wäre?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Fr 06.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo strawberryjaim!
Zunächst: Es gibt die Vorschaufunktion! Ich habe mal die Klammer,
die dir gefehlt hat, hinzugefügt.
> [mm] \bruch{n-1}{n^{2}-1}
[/mm]
> [mm] \bruch{n^{2}-4}{(n-2)^{2}}
[/mm]
> [mm] \bruch{4n^{4}-3n^{3}+2n^{2}-n}{n^{2}(2n-1)^{2}}
[/mm]
> Zu 1: [mm] \bruch{n}{n^{2}-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^{2}-1} [/mm] =
> [mm] \bruch{1}{n-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^{2}-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n-1} [/mm] -
> [mm] \bruch{1}{n-\bruch{1}{n}} [/mm] = 0
Das ist Quark und vor Allem die Schreibweise! Es gilt:
[mm] $\bruch{n-1}{n^{2}-1}=\frac{n-1}{(n-1)(n+1)}=\frac{1}{n+1}\to [/mm] 0$ für [mm] n\to\infty.
[/mm]
> Zu 2: Dort habe ich erst mal die Klammer im Nenner
> ausgerechnet
> [mm] \bruch{n^{2}-4}{(n)^{2}-4n+4} [/mm]
> und anschließend den "größten Exponenten" ausgeklammert
>
> [mm] \bruch{n^{2}(1-\bruch{4}{n^{2}}}{n^{2}(1-\bruch{4}{n}+\bruch{4}{n^{2}}} [/mm]
> = 1
Am Ende muss (zum Beispiel) stehen:
[mm] $\bruch{1-\bruch{4}{n^{2}}}{1-\bruch{4}{n}+\bruch{4}{n^{2}}}\to [/mm] 1$ für [mm] n\to\infty.
[/mm]
Alternativ:
[mm] $\bruch{n^{2}-4}{(n-2)^{2}}=\frac{(n-2)(n+2)}{(n-2)(n-2)}=\frac{n+2}{n-2}\to [/mm] 1$ für [mm] n\to\infty.
[/mm]
> Wann ist es denn sinnvoll den Bruch auseinanderzuziehen wie
> ich es bei 1 getan habe und wann ist es sinnvoll, den
> größten Exponenten auszuklammern?
>
> Zu 3: Dort habe ich den größten Exponenten ausgeklammert
Es kommt immer darauf an, aber mit der Zeit kommt das.
> [mm] \bruch{n^{4}(4-\bruch{3}{n}+\bruch{2}{n^{2}}-\bruch{1}{n^{3}}}{n^{4}(2n-1)} [/mm]
Im Zähler fehlt am Ende eine Klammer und im Nenner hast du falsch
ausgeklammert.
> Dann würde der Nenner ja immer noch
Immer noch?
> gegen unendlich laufen, weshalb der Grenzwert der kompletten Folge ja = 0
> wäre?
Nein. Der Grenzwert ist [mm] $1\$.
[/mm]
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
Ja, das ist mir leider dann auch aufgefallen und als ich es ändern wollte, kam, dass es nicht mehr ginge, weil es schon jemand bearbeitet. Entschuldigung.
Und danke für deine Hilfe. :)
|
|
|
|
