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Grenzwertbestimmung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:10 Fr 06.02.2015
Autor: strawberryjaim

Aufgabe
[mm] (\bruch{n+1}{n})^{-2n} [/mm]

Bestimmen sie den Grenzwert für n gegen unendlich.

Reicht es, hier nachzuweisen, dass der Grenzwert von [mm] (\bruch{n+1}{n}) [/mm] = 1 ist und dann darauf zu schließen, dass der Grenzwert der gesamten Folge dann ebenfalls 1 ist? :)

        
Bezug
Grenzwertbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:18 Fr 06.02.2015
Autor: chrisno

Nein. Immer wenn das n im Bruch um 1 größer wird, wird gleichzeitig auch das n im Exponenten 1 größer. Da kannst Du das erst einmal nicht von einander getrennt betrachten.

Bezug
        
Bezug
Grenzwertbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:46 Fr 06.02.2015
Autor: DieAcht

Hallo strawberryjaim!


Wir wissen:

      [mm] \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n=e^z [/mm] für alle [mm] z\in\IC. [/mm]

1. Möglichkeit:

      [mm] \left(\frac{n+1}{n}\right)^{-2n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-2n}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}. [/mm]

Wie geht wohl weiter?

2. Möglichkeit: Substituiere $z:=-2n$.


Gruß
DieAcht



Bezug
                
Bezug
Grenzwertbestimmung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:12 Sa 07.02.2015
Autor: strawberryjaim

Wenn ich dann n gegen unendlich laufen lasse, hätte ich als Ergebnis [mm] \bruch{1}{1 * 1} [/mm] = 1 als Grenzwert :)

Bezug
                        
Bezug
Grenzwertbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:19 Sa 07.02.2015
Autor: abakus


> Wenn ich dann n gegen unendlich laufen lasse, hätte ich
> als Ergebnis [mm]\bruch{1}{1 * 1}[/mm] = 1 als Grenzwert :)

Ignorierst du den Beitrag von DieAcht völlig?
(Nur sein letzter Umformungsschritt ist falsch, weil ihm zwei Exponenten "n" abhanden gekommen sind.)


In deinem Grenzwert muss u.a. ein "e" vorkommen.

Bezug
                                
Bezug
Grenzwertbestimmung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:25 Sa 07.02.2015
Autor: strawberryjaim

Nein, natürlich nicht, sonst hätte ich die Umformung ja nicht gehabt..

Also wäre richtig: [mm] \bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})(1+\bruch{1}{n})^{n}}? [/mm] Wenn ja, wäre der Grenzwert dann [mm] \bruch{1}{e^{1}*e^{1}}? [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwertbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:30 Sa 07.02.2015
Autor: abakus


> Nein, natürlich nicht, sonst hätte ich die Umformung ja
> nicht gehabt..

>

> Also wäre richtig:
> [mm]\bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})(1+\bruch{1}{n})^{n}}?[/mm] Wenn ja,
> wäre der Grenzwert dann [mm]\bruch{1}{e^{1}*e^{1}}?[/mm]

Der Grenzwert ist richtig, vorher fehlte dir aber ein n: [mm]\bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})^\red{n}(1+\bruch{1}{n})^{n}}[/mm]

Bezug
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