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Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
13.1)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{\wurzel{n+2}}-\bruch{n}{\wurzel{n+4}})
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe leider dieses Semester nur 30% an der Analysis-Vorlesung meiner Hochschule Teilnehmen können, und somit leider auch nicht alle Übungen warnehmen können. Das ganze kam durch ein sehr zeitlich unterschätztes Software-Entwicklungs-Praktikum, dass mir meine ganze Zeit geraubt hat.
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Nichts desto trotz möchte ich an der Analysis Klausur teilnehmen, und habe mir dazu ein (für mich) sehr gutes und verständliches Buch gekauft. "Analysis für Dummies" - Das ist genau richtig für mich zu Lesen, weil es einwenig den Stil von Programmier-Büchern wiederspiegelt, den ich sehr gerne lese.
Zum Nachschlagen habe ich aber auch noch andere Bücher vom Teubner Verlag. Dazu noch die ganze Uni-Bibliothek und Mathe-Bibliothek in der Fakultät.
Aber nun zur Aufgabe.
Ich habe mir gedacht, rechne mal schnell den Grenzwert aus, aber selbst da hab ich schon Probleme.
Was ich also gemacht habe war.
Den Bruch erstmal auf einen gemeinsamen Nenner gebracht:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n\wurzel{n+4}-n\wurzel{n+2}}{\wurzel{(n+2)(n+4)}})
[/mm]
Ich hoffe das ist soweit richtig. Man kann ja Wurzel(a) * Wurzel(b) = Wurzel(a*b) machen.
Dann hab ich ein wenig weiter gerechnet, und bin auf folgendes Ergebnis gekommen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n\wurzel{(n+2)(n+4)}(\wurzel{n+4}-\wurzel{n+2})}{n^{2}+6n+8})
[/mm]
Das ganze habe ich dann weiter ausgerechnet, aber dann wusste ich irgendwie nicht mehr weiter. Weil es immer nur noch komplizierter wurde.
Ist dieses Ansatz soweit überhaupt richtig ?
Wie müsste ich weiter rechnen um auf die Lösung zu kommen ?
Wenn ich mir die Formel anschaue, würde ich meinen, dass der Grenzwert = 0 ist.
Weil es eben immer kleiner wird.
Danke für Eure Hilfe.
Dies ist mein erster Beitrag, ich hoffe ich habe alles richtig gemacht,
die Seite ist sehr überladen mit Text und Informationen, also nehmt es mir nich übel wenn ich etwas vergessen habe.
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Hi, KampfFlo,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{\wurzel{n+2}}-\bruch{n}{\wurzel{n+4}})[/mm]
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> Ich habe mir gedacht, rechne mal schnell den Grenzwert aus,
> aber selbst da hab ich schon Probleme.
>
> Was ich also gemacht habe war.
>
>
> Den Bruch erstmal auf einen gemeinsamen Nenner gebracht:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n\wurzel{n+4}-n\wurzel{n+2}}{\wurzel{(n+2)(n+4)}})[/mm]
>
> Ich hoffe das ist soweit richtig. Man kann ja Wurzel(a) *
> Wurzel(b) = Wurzel(a*b) machen.
>
> Dann hab ich ein wenig weiter gerechnet, und bin auf
> folgendes Ergebnis gekommen:
>
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n\wurzel{(n+2)(n+4)}(\wurzel{n+4}-\wurzel{n+2})}{n^{2}+6n+8})[/mm]
Hmm, also ich hätte nicht mit dem Nenner erweitert, sondern erst mal so weitergemacht:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n\wurzel{n+4}-n\wurzel{n+2}}{\wurzel{(n+2)(n+4)}})
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}{\wurzel{\bruch{n^{2}}{n^{2}+6n+8}}*(\wurzel{n+4}-\wurzel{n+2}})
[/mm]
Der erste Teil macht nun keine Probleme mehr: Er geht gegen 1.
Den zweiten Teil musst Du mit [mm] \wurzel{n+4} [/mm] + [mm] \wurzel{n+2} [/mm] erweitern.
Dann kriegst Du (ich schreib' jetzt nur noch diesen Teil auf!)
[mm] \bruch{(n+4)-(n+2)}{\wurzel{n+4} + \wurzel{n+2}} [/mm]
= [mm] \bruch{2}{\wurzel{n+4} + \wurzel{n+2}} [/mm]
Und dass dies gegen 0 geht, ist offensichtlich!
Gesamtergebnis für den Grenzwert: 1*0 = 0
mfG!
Zwerglein
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| Aufgabe | | = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}{\wurzel{\bruch{n^{2}}{n^{2}+6n+8}}*(\wurzel{n+4}-\wurzel{n+2}}) [/mm] |
Ok ich hab noch ne Frage zum 2. Schritt:
Ist das [mm] \bruch{\wurzel{a}}{\wurzel{b}}=\wurzel{\bruch{a}{b}} [/mm] ?
Wenn ja, habe ich Probleme mit dem anderen Term. Ich komme nie aus soetwas *heul*
Wobei wird dann einfach nur n ausgeklammert ?
*klick*
ich könnte das ja auch so schreiben, oder:
[mm] \bruch{n}{\wurzel{(n+2)(n+4)}}*\bruch{\wurzel{(n+4)}-\wurzel{n+2}}{1}
[/mm]
Ich bin verwirrt.
Nachtrag:
Nach genauerer Betrachtung..
[mm] n=\wurzel{n^{2}}
[/mm]
daher ging dann auch die Wurzelregel, richtig ?
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> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}{\wurzel{\bruch{n^{2}}{n^{2}+6n+8}}*(\wurzel{n+4}-\wurzel{n+2}})[/mm]
> Ok ich hab noch ne Frage zum 2. Schritt:
Hallo,
meinst Du das hier:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n\wurzel{n+4}-n\wurzel{n+2}}{\wurzel{(n+2)(n+4)}}) [/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}{\wurzel{\bruch{n^{2}}{n^{2}+6n+8}}\cdot{}(\wurzel{n+4}-\wurzel{n+2}}) [/mm] ?
Hier ist im Zähler zunächst n ausgeklammert, dann [mm] n=\wurzel{n^2} [/mm] benutzt und schließlich mit
> [mm]\bruch{\wurzel{a}}{\wurzel{b}}=\wurzel{\bruch{a}{b}}[/mm] ?
unter eine große Wurzel gesteckt.
Gruß v. Angela
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Alles klar, das meinte ich, danke!
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| Aufgabe | 13.2)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\wurzel{n+\wurzel{n}}-\wurzel{n-\wurzel{n}}) [/mm] |
Ich habe bei dieser Aufgabe den selben Trick angewendet, wie Zwerglein mir das bei Aufgabe 13.1 gezeigt hat.
Also:
[mm] \bruch{\wurzel{b}-\wurzel{a}}{1}\*\bruch{\wurzel{b}+\wurzel{a}}{\wurzel{b}+\wurzel{a}}=\bruch{a-b}{\wurzel{a}+\wurzel{b}}
[/mm]
daraus kam dann:
[mm] \bruch{(n+\wurzel{n})-(n-\wurzel{n})}{\wurzel{n+\wurzel{n}}+\wurzel{n-\wurzel{n}}}
[/mm]
woraus ich:
[mm] 2\*\bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n+\wurzel{n}}+\wurzel{n-\wurzel{n}}}
[/mm]
gemacht habe.
Reicht das jetzt aus, um den Grenzwert zu bestimmen, oder muss ich noch weiter umformen. Ich tippe darauf, dass es 2*0 wird.
Der obere Teil scheint immer kleiner zu sein, als der untere Teil.
Der untere Teil wächst ebenfalls schneller als der obere Teil.
Daher geht es gegen 0.
Kann ich das so sagen, oder wäre das Falsch / Ungenau?
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> 13.2)
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\wurzel{n+\wurzel{n}}-\wurzel{n-\wurzel{n}})[/mm]
> Ich habe bei dieser Aufgabe den selben Trick angewendet,
> wie Zwerglein mir das bei Aufgabe 13.1 gezeigt hat.
>
> Also:
>
> [mm]\bruch{\wurzel{b}-\wurzel{a}}{1}\*\bruch{\wurzel{b}+\wurzel{a}}{\wurzel{b}+\wurzel{a}}=\bruch{a-b}{\wurzel{a}+\wurzel{b}}[/mm]
>
>
> daraus kam dann:
>
> [mm]\bruch{(n+\wurzel{n})-(n-\wurzel{n})}{\wurzel{n+\wurzel{n}}+\wurzel{n-\wurzel{n}}}[/mm]
>
> woraus ich:
>
> [mm]2\*\bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n+\wurzel{n}}+\wurzel{n-\wurzel{n}}}[/mm]
>
> gemacht habe.
>
> Reicht das jetzt aus, um den Grenzwert zu bestimmen, oder
> muss ich noch weiter umformen. Ich tippe darauf, dass es
> 2*0 wird.
>
> Der obere Teil scheint immer kleiner zu sein, als der
> untere Teil.
> Der untere Teil wächst ebenfalls schneller als der obere
> Teil.
> Daher geht es gegen 0.
>
>
> Kann ich das so sagen, oder wäre das Falsch / Ungenau?
Es hätte noch nicht die richtige Überzeugungskraft.
Du kannst nun folgendes tun:
[mm] 2\*\bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n+\wurzel{n}}+\wurzel{n-\wurzel{n}}}= 2\*\bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n+\wurzel{n}}+\wurzel{n-\wurzel{n}}}*\bruch{\bruch{1}{\wurzel{n}}}{\bruch{1}{\wurzel{n}}} =2\*\bruch{\wurzel{n}*\bruch{1}{\wurzel{n}}}{\bruch{1}{\wurzel{n}}(\wurzel{n+\wurzel{n}}+\wurzel{n-\wurzel{n}})} =2\*\bruch{1}{(\wurzel{\bruch{n+\wurzel{n}}{n}}+\wurzel{\bruch{n-\wurzel{n}}{n}})}
[/mm]
[mm] =2\*\bruch{1}{\wurzel{1+\wurzel{\bruch{n}{n^2}}}+\wurzel{1-\wurzel{\bruch{n}{n^2}}}} =2\*\bruch{1}{\wurzel{1+\wurzel{\bruch{1}{n}}}+\wurzel{1-\wurzel{\bruch{1}{n}}}}
[/mm]
Ich hoffe, die Rechnungen verstehen sich selbstredend, ich habe sie aus diesem Grund so ausführlich aufgeschrieben.
Das mit dem Erweitern ist ein Standardtrick, denman auch oft verwenden kann, wenn man in Zähler und Nenner Polynome hat.
Gruß v. Angela
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Den letzten Schritt der 1. Zeile zum 1. Schritt der 2. Zeile verstehe ich nicht.
Wieso wird das [mm] \wurzel{\bruch{n}{n^{2}}} [/mm] ?
[mm] \bruch{n+\wurzel{n}}{n} [/mm] kann ich ja nachvollziehen, dass es auch als
[mm] \bruch{n}{n}+\bruch{\wurzel{n}}{n} [/mm] aufgefasst werden kann und daher
"MEINER" Verständnis nach
[mm] 1+\bruch{\wurzel(n)}{n} [/mm] ist.
Wie jetzt zum [mm] n^{²} [/mm] kommen ?
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> "MEINER" Verständnis nach
>
> [mm]1+\bruch{\wurzel(n)}{n}[/mm] ist.
>
> Wie jetzt zum [mm]n^{²}[/mm] kommen ?
[mm] 1+\bruch{\wurzel(n)}{n}=1+\bruch{\wurzel(n)}{\wurzel{n^2}}=1+\wurzel{\bruch{n}{n^2}}=1+\wurzel{\bruch{1}{n}}
[/mm]
Gruß v. Angela
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*an den Kopf fass*
Alles klar !:)
Nochmals vielen Dank für die Hilfe
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