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Guten Tag !
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{z^{4k}}{(3+(-1)^{k})^{7k}} [/mm] es ist der Konvergenzradius zu bestimmen.
Ich möchte [diese] Formel verwenden, [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}_{+1}}{a_{n}}|=1 [/mm] (das ist nicht die klassische Variante, hier ist die gesamte Reihe [mm] =a_{n} [/mm] (nicht nur ein Teil davon) sie funktioniert immer, da, korrigier mich einer "wenn das Quotientenkriterium funktioniert dann auch das Wurzel, nicht zwangsweiße umgekehrt"
ich bin jedenfalls soweit : [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{z^{4}(3+(-1)^{k})^{7k}}^{(3+(-1)^{k+1})^{7k+7}} [/mm] | =1
Kann mir da einer weiterhelfen ?Komm nicht weiter..
rauskommen soll [mm] R=2^{\bruch{7}{4}}.
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:50 Mo 17.12.2007 | | Autor: | Sashman |
Moin Mac!
Ich denke dein Problem liegt in aller erster Linie darin die Potenzreihe richtig aufzustellen. Du mußt erst mal auf die Form
[mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^\red{n}$
[/mm]
kommen. Da bei dir dort $n=4k$ ist, sind ein par Summanden Null in der Reihe und du mußt deine Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] dementsprechend gestallten. In etwa:
[mm] $(a_k):=\begin{cases}\text{ Gleichung 1 für }& k\text{mod}4=0\\0&\text{sonst}\end{cases}$
[/mm]
Wenn du nun ausnutzt, das [mm] $7k=\frac{7*4}{4}k$ [/mm] ist sollte Das erstellen der Folge kein Prob darstellen.
Die nicht erlaubte Division durch NUll verbietet uns das "Quotientenkriterium" zu nutzen. Aber mit der Cauchy Hadamardschen Gleichung sollte das sehr gut gelingen.
mFg Sashman
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:21 Mo 17.12.2007 | | Autor: | MacChevap |
Sorry Sashman, aber du bist total dran vorbei...
die Folge war gegeben, ich hab' also keinen Fehler "beim Aufstellen gemacht"....etc pp danke trotzdem..
etc.. ich habe jetzt die Lösung (natürlich mit meiner Formel von oben)..
Lösung = Aufsplitten in 2 Reihen (gerade ungerade ) und R bestimmen.
so far..
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> Sorry Sashman, aber du bist total dran vorbei...
Hallo,
ich finde nicht, daß Sashman "total" dran vorbei ist, wenn er auch vielleicht Dein Tun mit dem Quotienten nicht richtig erkannt hat,
> etc.. ich habe jetzt die Lösung (natürlich mit meiner
> Formel von oben)..
Mich würde interessieren, wie Du das mit dem Quotienten gemacht hast.
Ich sehe da nämlich ein Problem: er hat ja gar keinen Grenzwert.
Und daher meine auch ich, daß man doch mit der Wurzel kommen muß, ein in diesem Fall sehr bequemer Weg, wenn man zunächst [mm] y:=z^4 [/mm] setzt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:54 Mo 17.12.2007 | | Autor: | MacChevap |
Leute , ich benutze nicht das klassische Quotientenkriterium,sondern eine andere spezielle Formel (lest doch meinen ersten Post..)..
Mit dieser Formel geht jede, ich wiederhole jede Reihe, ich habe mittlerweile alle Schwieriegkeitsgrade durch..
wie's hier geht ? Man teilt k in =2n und 2n+1 (gerade ungerade auf) hat dann 2 Reihen, betrachtet für beide "nach der Formel von mir" den Konvergenzradius , man erhält also [mm] 2^{7/4} [/mm] und [mm] 4^{7/4} [/mm] (weiß nicht ob das die genaun Werte waren) und sieht (zeichnen, Zahlenstrahl, dass [mm] 2^{7/4} [/mm] die einzig richtige Lösung ist (da außerhalb, also insbesondere [mm] 4^{7/4} [/mm] divergenz herrscht)
soooo far
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:09 Mo 17.12.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo MacChevap!
Kannst Du bitte den Link angeben für die Formel, welche Du da verwendest?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:00 Mo 17.12.2007 | | Autor: | Sashman |
Moin Mac!
Habe nicht gesehen das du ein "anderes" Quotientenkriterium nutzt. Ich nehme mal aufgrund deiner Nachdrücklichkeit an, das du es auch richtig hingeschrieben hast. Zur Sicherhet einfach nochmal aufgeschrieben.
[mm] $\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$
[/mm]
Das Da kein r vorkommt soll mich mal nicht weiter stören - wie gesagt kenne diese Formel nicht.
Nur sollte dir eines zumindest zu denken geben:
Wenn der Grenzwert einer Folge existiert, dann ist er eindeutig bestimmt. D.h. jede Teilfolge konvergiert dan auch gegen diesen Grenzwert.
Du solltest auf jeden Fall deine Argumentierung nochmals durchgehen. Wie Angela schon sagte der GW existiert bei dieser Folge nicht. Den Raduis hast du ja schon richtig erraten nur gezeigt hast du es NICHT.
SOOOOOOOOOOFAAAAAAAAAAR...
Gott zum Gruße Sashman
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:24 Mo 17.12.2007 | | Autor: | MacChevap |
> Moin Mac!
>
Nabend
> [mm]\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1[/mm]
richtig, auf R kommt man dann durch (x1-x2)/2 = R voìla
> Das Da kein r vorkommt soll mich mal nicht weiter stören -
> wie gesagt kenne diese Formel nicht.
>
> Nur sollte dir eines zumindest zu denken geben:
>
> Wenn der Grenzwert einer Folge existiert, dann ist er
> eindeutig bestimmt. D.h. jede Teilfolge konvergiert dan
> auch gegen diesen Grenzwert.
> Du solltest auf jeden Fall deine Argumentierung nochmals
> durchgehen. Wie Angela schon sagte der GW existiert bei
> dieser Folge nicht.
Tut er doch, rechne es jetzt aus (mit der vollständigen Formel) Also so vorgehen jetzt habt ihr die komplette Formel dann wie gaaaanz oben beschrieben 2 Teilfolgen etc....
> Den Raduis hast du ja schon richtig
> erraten nur gezeigt hast du es NICHT.
erraten habe ich nichts, jetzt da ihr die Formel (sorry Roadrunner Link dafür gibt's nicht, ist von einem Kommillitonen...) entsprechend den oberen Anweisungen ausprobieren.
> SOOOOOOOOOOFAAAAAAAAAAR...
so good ;)
Was mich erstaunt, nach heutiger Lektüre im Repi z.B., "wenn das Wurzelkriterium geht dann geht auch das Quotientenkriterium."(W=>Q)
Da meine Formel eine ABWANDLUNG des Q-Krit ist, wundert es mich, dass besagte Formel immer geht/funktioniert hat.
Interessant wäre es allerdings, falls das jemand von euch widerlegen kann, i.e. ein Beispiel nennen bei der "meine Formel" nicht funktioniert und ich statt dessen auf die 0815-Varianten zurückgreifen muss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 Mo 17.12.2007 | | Autor: | Sashman |
MOIN Mac!
Um eine (reelle) Reihe [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ [/mm] auf Konvergenz zu untersuchen, gibt es einige Kriterien, wie du sicher weist. So konvergiert die Reihe, wenn es ein [mm] $q\in\IR$ [/mm] gibt mit $0<q<1$ so dass:
[mm] $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
Ich denke das du in Anwendung der "Formel" diejenigen [mm] $z_r$ [/mm] (r=Radius) bestimmst, für die [mm] $\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$ [/mm] gilt.
Für alle [mm] $|z|<|z_r|$ [/mm] ist dann, so meine Vermutung, ein oben beschriebenes $q$ vorhanden. Sollte es mehrere dieser [mm] $z_r$ [/mm] geben ist (vermutlich) das kleinere das was zu wählen ist - oder weitere Überlegungen sind anzustellen.
Warum nun das Ganze? Mgl das sich deine Variante in einen Computersystem (bei komplizierteren Reihen) als zweckmäßig erweist. Mgl das man einfach nur eine Formel behalten muss, die immer fxt. Bescheiden finde ich jedoch den erheblichen Arbeitsaufwand allein schon in deinem Beispiel.
Desweitern würde mich zeichnerisches bestimmen des richtigen [mm] $z_r$ [/mm] mehr als abschrecken. Meint eine rechnerrische Bestimmung könnte ein wenig genauer sein (lass die verschiedenen [mm] $z_r$ [/mm] einfach nur nahe genug beieinanderliegen)
Nicht desto trotz... Bei einer Abgabe wäre die "Wurzelvariante" die meiner Wahl.
Sollte ich Mist erzählt haben bitte ich andere Mathräumler meine Aussagen zu verbessern.
mFg Sashman
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> Was mich erstaunt, nach heutiger Lektüre im Repi z.B.,
> "wenn das Wurzelkriterium geht dann geht auch das
> Quotientenkriterium."(W=>Q)
> Da meine Formel eine ABWANDLUNG des Q-Krit ist, wundert es
> mich, dass besagte Formel immer geht/funktioniert hat.
> Interessant wäre es allerdings, falls das jemand von euch
> widerlegen kann, i.e. ein Beispiel nennen bei der "meine
> Formel" nicht funktioniert und ich statt dessen auf die
> 0815-Varianten zurückgreifen muss
Hallo,
zwar ist mir immer noch nicht 100-prozentig klar, welches "Deine" Formel ist (Quotientenkriterium für Konvergenz v. Reihen mit dem lim sup???), und was Du mit 0815-Varianten meinst,
trotzdem meine ich ein Beispiel zu haben, bei welchem Du mit Deiner Vorgehensweise zur Bestimmung des Konvergenzradius nicht ans Ziel kommst:
[mm] 1*x+2x^2+1x^3+4x^4+1x^5+6x^6 +...=\summe a_ix^i [/mm] mit [mm] a_i=1 [/mm] für ungerades i und [mm] a_i=i [/mm] für gerades i.
Gruß v. Angela
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