Grenzwertbestimmung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:20 Mo 10.01.2005 | | Autor: | Salazar |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Ich hätte da mal eine Frage, die sich für diejenigen unter euch, die das können (klar, wenn mans kann isses einfach) relativ simpel anhört, über meinen Horizont aber nun doch so weit hinausgeht, dass ich mir um meine Mathearbeit am Mittwoch Sorgen machen sollte...
Wie geht das mit der Grenzwertbestimmung bei einer Folge?
Also der Quark mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ... ich hoffe ihr versteht mich^^"
Was ich außerdem nicht so ganz kapiere (nennen wirs beim Namen ich verstehe es GAR nicht) sind das Infimum und das ... Supinum? ... naja jedenfalls kapier ich des nicht :-( Kleinste obere Schranke etc. ... ich hoffe ihr werdet aus der wirren Frage überhaupt schlau und könnt mir helfen...
(verdammt, letztes Jahr war ich noch gut in Mathe und nu?)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Mo 10.01.2005 | | Autor: | Salazar |
Ich weiß, ich stell mich für 'nen 11. Klässler gerade extrem dämlich an, aber dieses Thema is echt mein Grauen und ich verstehe da so gut wie gar nix von...
Ich weiß, is ein bisschen viel verlangt, aber... könnte mir das was unter informixx' Link steht nochma so erklären, dass ich es auch verstehe? (Nix gegen dich informixx, kannst ja nich wissen das ich so dusslig bin^^)
Wäre sehr dankbar ... *jaul* Ich bin froh wenn das Thema durch is...
Edit:
Konkreter:
Wie berechne ich den Grenzwert einer Folge?
Was sind Infimum und Supinum?
Was fang ich damit an?
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Hallo!
> Ich weiß, ich stell mich für 'nen 11. Klässler gerade
> extrem dämlich an, aber dieses Thema is echt mein Grauen
> und ich verstehe da so gut wie gar nix von...
Keine Panik!
> Wie berechne ich den Grenzwert einer Folge?
Nun ja, das kommt darauf an, in welcher Form Du die Folge gegeben hast.
Manchmal ist es gar nicht so einfach, den Grenztwert einer Folge zu bestimmen, aber mit ein paar Rechenregeln und Tricks kommt man doch schon recht weit, deshalb hier vielleicht mal ein paar Beispiele:
[mm]a_n=1 - \bruch{1} {n}[/mm]
Für große n wird 1/n seeeehr sehr klein, deswegen geht die Folge gegen 1
[mm]b_n=\bruch{2n^3-4n^2+1} {3n^3-7n+3}[/mm]
hier hilft uns vielleicht ein kleiner Rechentrick, auch wenns zunächst komplizierter aussieht: wir klammern n³ aus:
[mm]=\bruch{n^3*(2-\bruch{4} {n}+\bruch{1} {n^3})} {n^3*(3-\bruch{7} {n^2}+\bruch{3} {n^3})}=\bruch{2-\bruch{4} {n}+\bruch{1} {n^3}} {3-\bruch{7} {n^2}+\bruch{3} {n^3}}[/mm].
Wie man sieht (oder sich mit einem Taschenrechner leicht verdeutlichen kann), gehen alle die "Schrotterme", wo im Nenner ^n hoch irgendwas steht, gegen Null, so daß am Ende nur noch 2/3 stehenbleibt, also ist der Grenzwert hier 2/3.
Nun vielleicht ein etwas komplexeres Beispiel:
[mm]c_n= \bruch{1-q^{n+1}} {1-q}[/mm] für 0<q<1.
Dazu sehen wir uns erstmal an, was der Term [mm]q^n[/mm] für große n macht. Allgemein ist, da q zwischen 0 und 1 liegt [mm]q^{n+1}
Andererseits aber sind die Folgenglieder aber für jedes n auch größer als 0, so daß [mm]q^n[/mm] gegen null geht für n gegen unendlich.
(die Argumentation war natürlich jetzt nicht mathematisch korrekt aufgeschrieben, aber ich wollte einfach anschaulich machen, worum es geht...)
Nun zu dem größeren Term.
Da ist jetzt klar, daß der, da [mm]q^n[/mm] gegen 0 geht, gegen [mm]\bruch{1} {1-q}[/mm] geht.
> Was sind Infimum und Supinum?
Also supinum ist ne lateinische Verbform  , aber ich denke mal, Du meinst supremum.
Fangen wir erstmal damit an: dir dürfte bekannt sein, was eine obere bzw. untere Schranke ist. Zum Beispiel hat die Menge M={1,2,7,3,9} zum Beispiel die 10 als obere Schranke, da kein Element der Menge M größer ist als 10. Wie man sieht, ist die obere Schranke nicht eindeutig, denn auch 12348.5 wäre eine obere Schranke.
Das supremum ist nun definiert als kleinste obere Schranke. Wie man sich leicht überlegen kann, ist das supremum eindeutig bestimmt, im obigen Falle wäre z.B. sup M = 9.
Das supremum muß nicht unbedingt Element der Menge sein, nehmen wir z.B. N=[0,1), also das rechts offene Intervall von 0 bis 1.
Offensichtlich ist sup N =1, denn zu allem, was kleiner 1 ist, gibt es ja immer noch ein Element, das größer ist und trotzdem kleiner 1.
Dennoch ist [mm]1 \not\in N[/mm].
Analog dazu ist das infimum die größte untere Schranke.
> Was fang ich damit an?
gute Frage, nächste Frage. Nee... quatsch. Innerhalb der Mathematik erübrigt sich die Frage nach praktischem Nutzen sowie so, aber z.B. in der Physik tauchen Grenzwerte an allen Ecken und Enden auf...
Wie Du siehst, ist das alles doch gar nicht sooo schlimm, oder?
Hoffe, Du konntest mir und meinen wirren Gedanken überall folgen, wenn nicht: Einfach nochmal nachfragen!
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:31 Mo 10.01.2005 | | Autor: | Salazar |
Danke, das is wirklich gut erklärt, ich glaube ich versteh das jetz sogar bis zur Arbeit... ey wenn ich jetz die benötigten 9 Punkte (*räusper* in der 1 Arbeit hatte ich einen...) bekomme küss ich dir die Füße^^
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