Grenzwertbestimmung < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hi, kann mir jemand anhand dieses Beispiels erklären, wie ich auf den Grenzwert komme?
[mm] b_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n}(n+5i)
[/mm]
Danke
Anika
|
|
| |
|
Hallo,
> Hi, kann mir jemand anhand dieses Beispiels erklären, wie
> ich auf den Grenzwert komme?
>
> [mm]b_{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n}(n+5i)[/mm]
>
auf welchen Grenzwert? Sicherlich, da gibt es eine naheliegende Vermutung, aber du musst so eine Aufgabe schon exakt im Wortlaut einstellen, das wäre mal die Grundvoraussetzung.
Dann: wo sind deine eigenen Bemühungen, die sehe ich irgendwie nicht. 
Hast du bspw. schon die Tatsache genutzt, dass da genau n Summanden stehen und das es eine sog. Gauß'sche Summenformel gibt?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Das ist die Aufabe, die unser Lehrer so an die Tafel geschrieben hat. Anhand des Beispiels wollte ich die Logik dahinter verstehen. Bis jetzt weiß ich nicht wirklich was ich machen muss.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Das ist die Aufabe, die unser Lehrer so an die Tafel
> geschrieben hat. Anhand des Beispiels wollte ich die Logik
> dahinter verstehen. Bis jetzt weiß ich nicht wirklich was
> ich machen muss.
Dann hast du nicht alles mitbekommen, was an der Tafel stand. Gegen was soll n streben?
Was du machen sollst habe ich dir oben eigentlich schon aufgeschrieben. Es geht darum, die Summe in eine explizite Form zu bringen, also in einen Term umzuwandeln, der ohne Summenzeichen auskommt und nur von n abhängt. Für diesen dann den Grenzwert auszuwerten ist dann eine leichte Übung!
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hi, danke für die Antwort. Da ich das noch nie gemacht habe -wir haben Freitag erst mit diesem Thema angefangen- weiß ich auch nicht wie ich das umformen soll.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 So 02.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Hi, danke für die Antwort. Da ich das noch nie gemacht
> habe -wir haben Freitag erst mit diesem Thema angefangen-
> weiß ich auch nicht wie ich das umformen soll.
Schreibe dir doch die ersten Summanden mal hin.
Denke dann auch an die Summenformel von Gauss, diese findest du unter anderem bei ![[]](/images/popup.gif) Arndt Brünner.
Marius
|
|
|
| |
|
Meinst du vielleicht so:
[mm] \bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n} [/mm] n + [mm] \bruch{1}{n^{2}} \summe_{i=1}^{n}3k
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Meinst du vielleicht so:
>
> [mm]\bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n}[/mm] n + [mm]\bruch{1}{n^{2}} \summe_{i=1}^{n}3k[/mm]
>
Das ist schonmal gar nicht schlecht, bis auf die 3k, die 5i heißen sollten.
Für den linken Summanden nutze jetzt, dass die Summe aus n gleichen Summanden besteht. Auf den rechten Summanden kannst du die Gauß'sche Summenformel
[mm]\summe_{i=1}^{n}i=\bruch{n*(n+1)}{2} [/mm]
anwenden. Und ich versuche es nochmal: gegen was soll n streben? Auch wenn das in vielen Fällen klar sein mag (hier auch), so muss man es angeben, wenn man gründlich vorgehen möchte.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Alles klar, lim n gegen unendlich, oder?
zur Formel:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n} [/mm] n + [mm] \bruch{1}{n^{2}} \summe_{i=1}^{n}5*\bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 So 02.12.2012 | | Autor: | abakus |
> Alles klar, lim n gegen unendlich, oder?
>
> zur Formel:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] =
> [mm]b_n=\bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n}[/mm] n + [mm]\bruch{1}{n^{2}} \summe_{i=1}^{n}5*\bruch{n(n+1)}{2}[/mm]
Hallo,
wenn du die Summenformel angewendet hast, muss das zweite Summenzeichen aber weg.Es gilt
[mm]b_n=\bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n}n+5*\bruch{1}{n^{2}} *\bruch{n(n+1)}{2}[/mm]
Gruß Abakus
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:50 So 02.12.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
noch ein durchaus gut gemeinter Ratschlag: nimmdir mal für alles ein wenig mehr Zeit und arbeite dafür gründlicher.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Ok, werde ich tun
Ich habe jetzt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \bruch{5n^{2}+5n}{2n^{2}}
[/mm]
Wie bekomme ich den Nenner jetzt auf [mm] 2n^{2}?
[/mm]
|
|
|
| |
|
Ok, werde ich tun :)
Ich habe jetzt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \bruch{5n^{2}+5n}{2n^{2}}
[/mm]
Wie bekomme ich den Nenner jetzt auf [mm] 2n^{2}?
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ok, werde ich tun
>
Sehr schön.
> Ich habe jetzt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] +
> [mm]\bruch{5n^{2}+5n}{2n^{2}}[/mm]
Das ist zunächst einaml völlig falsch geschrieben. Ist dir denn klar, was der Begriff Grenzwert überhaupt bedeutet?
Dein ursprüngliches Problem lautete so (wenn wir das jetzt richtig interpretiert haben, du hast es nirgends bestätigt!):
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n^2}\summe_{i=1}^{n}(n+5i)
[/mm]
Du hattest das jetzt umgewandelt zu
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left(\bruch{1}{n^2}\summe_{i=1}^{n}n+\bruch{1}{n^2}\summe_{i=1}^{n}5i\right) [/mm]
Das lässt sich noch umformen zu
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left(\bruch{1}{n^2}\summe_{i=1}^{n}n+\bruch{5}{n^2}\summe_{i=1}^{n}i\right) [/mm]
> Wie bekomme ich den Nenner jetzt auf [mm]2n^{2}?[/mm]
Das ist eine für mich unverständliche Frage. Du musst jetzt erst einmal die Summen korrekt auswerten. Was gibt n*n (Preisfrage!)
Die zweite Summe hast du richtig ausgewertet so dass wir nun haben:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left(?+\bruch{5n^2+5n}{2n^2}\right) [/mm]
Jetzt unternimm noch einemal einen Versuch, die linke summe korrekt zu ermitteln, es ist sehr einfach, aber deine Version ist falsch.
Beim rechten Summanden klammere nun [mm] 5n^2 [/mm] im Zäher aus und kürze durch [mm] n^2. [/mm] Danach hats du den Grenzwert praktisch dastehen.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Ok, [mm] \bruch{1}{n^2}\summe_{i=1}^{n} [/mm] n ist gleich [mm] \bruch{1}{n^2}
[/mm]
Dann habe ich am Ende 1 + [mm] \bruch{5n^{2}+5n}{2}
[/mm]
Muss ich jetzt die p-q-Formel nehmen?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ok, [mm]\bruch{1}{n^2}\summe_{i=1}^{n}[/mm] n ist gleich
> [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm]
>
Nein, es ist gleich 1, und das hast du auch herausbekommen. So viel zum Thema Gründlichkeit...
> Dann habe ich am Ende 1 + [mm]\bruch{5n^{2}+5n}{2}[/mm]
Das hast du nicht in dem Sinn, dass es das gefragte Ergebnis wäre. Bis dahin hast du einfach nur den Term umgeformt, für den du den Grenzwert ermitteln sollst. Außerdem fehlt da ein [mm] n^2 [/mm] im Nenner...
> Muss ich jetzt die p-q-Formel nehmen?
Wozu das denn???
Was hältst du davon, dass du mal meine vorige Antwort nochmal durchliest, da steht haarklein, was an dieser Stelle zu tun ist?
Also nicht dass mich das stört (ich sage immer:ich hab mein Abi schon in der Tasche, so seit knapp 30 Jahren  ). Aber wenn du das verstehen lernen möchtest, dann musst du lernen, dir viel klarer zu machen, was du warum tust. Mit der pq-Formel bspw. löst man quadratische Gleichungen, damit hat die vorliegende Aufgabe überhaupt nichts zu tun.
Es geht darum, zu untersuchen, was passiert, wenn in dem gegebenen Term n gegen [mm] \infty [/mm] strebt. Es wird sich hier bei korrekter Rechnung herausstellen, dass der gegebene Term gegen den Grenzwert [mm] \bruch{7}{2} [/mm] strebt, also gegen einen festen und vor allem endlichen Wert. Einen solchen Wert nennt men einen (eigentlichen) Grenzwert. In obiger Form kannst du ihn aber noch nicht ausrechnen, da dein n noch im Zähler und im Nenner steht. Dies muss durch eine weitere Umformung 'behoben' werden (die ich dir bereits genannt habe), und dann wirst du auf obiges Ergebnis kommen.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Sorry, aber warum ist [mm] \bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n} [/mm] n =1 ??
Ich habe die ganze Gkeichung mit [mm] n^{2} [/mm] multipliziert und komme dann auf 1
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Sorry, aber warum ist [mm]\bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n}[/mm] n =1
Es ist doch [mm]\sum\limits_{i=1}^n\blue n=\underbrace{\blue n+\blue n+\blue n+\ldots+\blue n}_{\red{n}-mal}=\red n\cdot{}\blue n=n^2[/mm]
> ??
> Ich habe die ganze Gkeichung mit [mm]n^{2}[/mm] multipliziert und
> komme dann auf 1
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 So 02.12.2012 | | Autor: | abakus |
> Hi, kann mir jemand anhand dieses Beispiels erklären, wie
> ich auf den Grenzwert komme?
>
> [mm]b_{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n}(n+5i)[/mm]
>
> Danke
> Anika
Hallo,
verdeutliche dir mal ein Folgengleid am konkreten Beispiel.
Für n=3 erhältst du z.B.
[mm] $b_3=\frac19*((3+5*1)+(3+5*2)+(3+5*3))$
[/mm]
Gruß Abakus
|
|
|
|
