Grenzwertbestimmung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 So 21.07.2013 | | Autor: | gregg |
| Aufgabe | | Bestimmen sie den Grenzwert von [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2+(-1)^k}{5^k} [/mm] |
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2+(-1)^k}{5^k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2}{5^k} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{\infty} -(\bruch{1}{5})^k
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} -(\bruch{1}{5})^k [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} -(\bruch{1}{5})^{k+1} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{5} [/mm] * [mm] \summe_{k=0}^{\infty} -(\bruch{1}{5})^k [/mm] = [mm] -\bruch{1}{5} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{1-(-\bruch{1}{5})}) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{5} [/mm] * [mm] (\bruch{5}{6}) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{6}.
[/mm]
Ist das soweit richtig? Ich bräuchte einen Tipp, was ich mit [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2}{5^k} [/mm] anfangen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 So 21.07.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo gregg!
Du rechnest bzw. meinst das Richtige. Jedoch setzt Du falsch Klammern. Es muss korrekt lauten: [mm] $\left(-\bruch{1}{5}\right)^k$
[/mm]
Das heißt, das Minuszeichen gehört hier zwingend innerhalb der Klammern.
Die andere Teilreihe kannst Du wie folgt behandeln:
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2}{5^k} [/mm] \ = \ [mm] 2*\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{5^k} [/mm] \ = \ [mm] 2*\summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{5}\right)^k$
[/mm]
Gruß
Loddar
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