Grenzwertbestimmung mit Zahl e < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Valaina |
| Aufgabe 1 | 1) [mm] \limes_{x\rightarrow1}((e^x-e)/(x-1))
[/mm]
Lösung: 1) = e |
| Aufgabe 2 | 2) [mm] \limes_{x\rightarrow(e)}((ln(x)-ln(e))/(x-e))
[/mm]
Lösung 2) = 1/e |
Ich hoffe, ich bin hier richtig, weil ich das Wort Grenzwerte sonst nirgends gefunden habe. Allerdings geht es bei mir um Funktionsgleichungen, von denen ich einen bestimmten Grenzwert berechnen sollte.
Grundsätzlich verstehe ich den Vorgang. Man versucht, so weit umzuformen, bis man eine bestimmte Form bekommt, über die man etwas aussagen kann. Dazu benutzt man die Polynomdivision (sozusagen, um jene Polynome, die die Form unbestimmt werden lassen, eventuell zu kürzen u.ä.), man kann probieren Wurzeln durch das kreieren der 3. Binomischen Formel wegzubekommen, man kann durch die höchste Potenz durchdividieren (bei x -> [mm] \infty), [/mm] um Nullfolgen zu erhalten, oder aber multiplizieren ect. Auch Grenzwerte, die sin, cos oder tan enthalten sind nicht wirklich ein Problem. Zusätzlich kann man noch probieren, auf die wichtigen Grenzwerte [mm] \limes_{x\rightarrow0}(sinx/x)=1 [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(1+1/x)^x=e [/mm] zu kommen.
Mein Problem sind hier Funktionsgleichungen, die eulersche Zahl oder Logarithmen enthalten. Sobald ich so etwas sehe, habe ich keine Ahnung, wie ich die Aufgabe lösen könnte. Als Beispiel die gestellten Aufgabe: Ich wüsste nicht, wie ich anfangen sollte, logarithmieren bringt bei 1) meiner Meinung nichts, weil eine Subtraktion dasteht, und sonst würde mir nichts einfallen. Bei 2) könnte ich lediglich ln(x/e) in den nenner schreiben, aber dann wäre auch hier Sendepause.Wie geht man sowas an, und gibt es vielleicht einige weitere "Grundregeln", was man probieren kann, wie die von mir oben genannten?
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Hallo Valaina,
du kannst dir für solche Arten von Aufgaben immer den Satz von L'Hospital anwenden. Dieser sieht wiefolgt aus: Falls folgt [mm] \limes_{x\to\ x_0}\bruch{f(x)}{g(x)}="\bruch{0}{0}" [/mm] oder [mm] "\bruch{\infty}{\infty}" [/mm] gilt der Satz aus [mm] \limes_{x \to \ x_0}\bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] => [mm] \limes_{x \to \ x_0}\bruch{f'(x)}{g'(x)} [/mm]. Du wirst sehen, dass du diesen Satz bedenkenlos anwenden kannst für die bereits erwähnten Fälle [mm] "\bruch{0}{0}" [/mm] oder [mm] "\bruch{\infty}{\infty}" [/mm] berücksichtigst.
Schöne Grüße
Mathestudent
PS.: Du wirst feststellen das du die selben Ergebnisse ahben wirst.
> 1) [mm]\limes_{x\rightarrow1}((e^x-e)/(x-1))[/mm]
>
> Lösung: 1) = e
> 2) [mm]\limes_{x\rightarrow(e)}((ln(x)-ln(e))/(x-e))[/mm]
>
> Lösung 2) = 1/e
> Ich hoffe, ich bin hier richtig, weil ich das Wort
> Grenzwerte sonst nirgends gefunden habe. Allerdings geht es
> bei mir um Funktionsgleichungen, von denen ich einen
> bestimmten Grenzwert berechnen sollte.
> Grundsätzlich verstehe ich den Vorgang. Man versucht, so
> weit umzuformen, bis man eine bestimmte Form bekommt, über
> die man etwas aussagen kann. Dazu benutzt man die
> Polynomdivision (sozusagen, um jene Polynome, die die Form
> unbestimmt werden lassen, eventuell zu kürzen u.ä.), man
> kann probieren Wurzeln durch das kreieren der 3.
> Binomischen Formel wegzubekommen, man kann durch die
> höchste Potenz durchdividieren (bei x -> [mm]\infty),[/mm] um
> Nullfolgen zu erhalten, oder aber multiplizieren ect. Auch
> Grenzwerte, die sin, cos oder tan enthalten sind nicht
> wirklich ein Problem. Zusätzlich kann man noch probieren,
> auf die wichtigen Grenzwerte
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}(sinx/x)=1[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}(1+1/x)^x=e[/mm] zu kommen.
> Mein Problem sind hier Funktionsgleichungen, die eulersche
> Zahl oder Logarithmen enthalten. Sobald ich so etwas sehe,
> habe ich keine Ahnung, wie ich die Aufgabe lösen könnte.
> Als Beispiel die gestellten Aufgabe: Ich wüsste nicht, wie
> ich anfangen sollte, logarithmieren bringt bei 1) meiner
> Meinung nichts, weil eine Subtraktion dasteht, und sonst
> würde mir nichts einfallen. Bei 2) könnte ich lediglich
> ln(x/e) in den nenner schreiben, aber dann wäre auch hier
> Sendepause.Wie geht man sowas an, und gibt es vielleicht
> einige weitere "Grundregeln", was man probieren kann, wie
> die von mir oben genannten?
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Voraussetzung: Satz von L'Hospital
Behauptung: [mm] \lim_{x \to \ 0}\bruch{sinx}{x}=1 [/mm]
Beweis:
Für [mm] \lim_{x \to \ 0}\bruch{sinx}{x} [/mm] kommt [mm] "\bruch{0}{0}" [/mm] heraus. Also müssen wir gemäß des Satzes von L'Hospital die erste Ableitung von Zähler und Nenner bilden.
=> [mm] \lim_{x \to \ 0}\bruch{cosx}{1}=\lim_{x \to \ 0}cosx [/mm]
=> [mm] cosx \to 1 [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Brazzo |
Hallo,
die beiden Aufgaben werden geradezu lächerlich einfach auf dich wirken, wenn du dir nochmal die Definition der Ableitung ins Gedächtnis rufst. (am besten die ohne h)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Valaina |
Ui =/ Mein Problem ist, dass wir Ableitungen bis jetzt noch gar nicht behandelt haben, d.h. ich habe nicht den blassesten Schimmer, was sowas überhaupt ist. Ist das in relativ kurzer Zeit erlernbar, also einfach? Und wenn nicht (ich denke mal das wird im Laufe des Jahres ja noch als Thema kommen), gibt es vielleicht auch noch eine andere Möglichkeit?
Bis jetzt haben wir das sozusagen eher auf gut Glück gemacht, also so lange an der Funktionsgleichung herumgebastelt, bis wir auf eine bestimmte Form gekommen sind (u.a. auch durch Substitution). Wir haben zum Beispiel auch Polynome zerlegt und dann versucht, die "kritische" Komponente wegzukürzen, als Beispiel: bei [mm] \limes_{x\rightarrow2} [/mm] probieren, in Zähler und Nenner (x-2) herauszu"ziehen", also das Stück, das den ganzen Term zu einer unbestimmten Form macht, und das dann wegzubekommen.
Da war leider immer ziemliche Willkür und einfaches Probieren dahinter, eben nach den paar schon geposteten "Grundarten" des Probierens. Bringt es mir was, mir das Ableiten schon im Vornherein beizubringen, oder ist der Aufwand zu groß für das gewünschte Ergebnis? Den (Wiederholungs)test zu den Grenzwerten schreiben wir am 7. November, um eine Vorstellung vom verbleibenden Zeitraum zu haben.
Vielen Dank euch schon mal =)
lg Valaina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Brazzo |
Hm... jetzt zweifle ich tatsächlich an meinem Gedächtnis. Ich habe zwar vieles aus der Schule verdrängt, aber ich war mir absolut sicher, dass man vor der Oberstufe zumindest die Grundlagen der Differentialrechnung lernt...
Hier mal das nötigste, was du darüber wissen solltest:
Die Ableitung einer Funktion f an der Stelle [mm] x_0 [/mm] ist definiert als:
[mm] f'(x_o)=\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_o}
[/mm]
Sie gibt anschaulich die Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen durch den Punkt [mm] (x_0,f(x_0)) [/mm] an.
Weiterhin solltest du (für die Aufgaben) wissen, dass die Ableitung von [mm] e^x [/mm] wieder [mm] e^x [/mm] ist und, dass [mm] \ln(x) [/mm] abgeleitet [mm] \frac{1}{x} [/mm] ergibt.
Wenn du dann mal deine Aufgaben mit der Definition vergleichst, solltest du feststellen, dass mit [mm] x_0=1 [/mm] und [mm] f(x)=e^x, [/mm] sich folgendes ergibt:
[mm] \lim_{x\to 1} \frac{e^x-e^1}{x-1}=e^1 [/mm] ( $=f'(1)$ )
und das ist genau dein zu berechnender Grenzwert.
Für die zweite Aufgabe ganz genauso.
Bist du dir wirklich sicher, dass du nie was von Differentialrechnung gehört hast? Es gibt zwar sicherlich auch elementarere Möglichkeiten (also ohne Ableitungen) diese Grenzwerte zu berechnen, aber erstens würde mir da auf Anhieb nichts einfallen und zweitens ist da eher weniger etwas, was man normalerweise in der Schule macht.
Hoffe, das hilft dir trotzdem etwas.
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Hallo Valaina,
ihr hattet noch das Thema Ableitungen und macht schon sowas wie Grenzwertberechnung? Das ist seltsam. Normalerweise muss das nämlich zuerstkommen. Wenn du die Mitteilung von Brazzo verstehst, wirst du auch den Satz des L'Hospital verstehen.
Liebe Grüße
Mathestudent
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:40 So 26.10.2008 | | Autor: | diab91 |
o.O du bist in der 12 und ihr habt noch nie ableitungen gehabt.... das kann nicht sein! dann auch noch LK..... entweder bist du sehr vergesslich ^^ oder euer lehrer hält sich nicht an den lehrplan...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:14 So 26.10.2008 | | Autor: | Valaina |
Genauer gesagt bin ich in der 13. ... und naja, sowas wie Leistungskurs haben wir nicht (komme aus Italien) aber ich besuch ein mathematisch-naturwissenschaftliches Gymnasium und wir haben seit 5 Jahren 5 Stunden Mathe pro Woche. Ich bin mir sicher dass wir Ableitungen noch nie hatten, weil wir es erst neulich in Physik gebraucht hätten und es dort geheißen hat "das müssen wir erst in Mathematik besprechen". An der Einhaltung des Lehrplans zweifle ich bei unserer Lehrerin allerdings selbst - ich versuche jetzt jedenfalls, diese Ableitungsgeschichte zu verstehen, wenns uns schon in der Schule vorenthalten wird x.x
Ich melde mich nochmal =)
lg und danke
Valaina
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