Grenzwertbeweis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hi Leute,
ich soll beweisen (wenn [mm] x_{n} [/mm] eine Folge pos. Zahlen ist):
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = + [mm] \infty [/mm] gdw. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{x_{n}} [/mm] = 0.
Das ganze ist so entwaffnend logisch, dass ich einfach nich weiß wo ich da nen Beweis ansetzen soll.
Wenn [mm] x_{n} [/mm] gegen unendlich geht ist [mm] \bruch{1}{x_{n}} [/mm] ne Nullfolge. Und andersrum genauso. Is doch eigentlich klar...
*verzweifeltist*
Bin für jeden noch so kleinen Tipp dankbar!
|
|
| |
|
ICh würde sagen, dass der Nenner ja nun beliebig groß wird, und dass ja nun 1/2 größer ist als 1/3 und1/4 und so weiter. Dadurch wird ja der Nenner immer größer und die Zahl dadurch immer kleiner.
Aber ob das langt? Denke eher nicht, wollte nur schreiben, was mir dazu einfällt.
|
|
|
| |
|
Das ist es ja.
Eben weil das so logisch ist, weiß ich nich wo ich ansetzen soll...
*grübel*
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo steelscout,
zu zeigen ist eine [mm] $\gdw$-Aussage, [/mm] also zeigst du einmal [mm] $\Rightarrow$ [/mm] und einmal [mm] $\Leftarrow$.
[/mm]
Übrigens bedeutet [mm] $\limes_{n\to\infty} x_n=+\infty$ [/mm] ja, dass [mm] $(x_n)$ [/mm] unbeschränkt ist, dass es also für jede Wahl einer oberen Schranke S ein N gibt, so dass [mm] $x_N>S$ [/mm] für alle $n>N$ gilt.
Nun kannst du mit dem [mm] $\varepsilon$-Kriterium [/mm] zeigen, dass [mm] $\bruch{1}{x_n}$ [/mm] den Grenzwert 0 hat (und umgekehrt).
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
> Übrigens bedeutet [mm]\limes_{n\to\infty} x_n=+\infty[/mm] ja, dass
> [mm](x_n)[/mm] unbeschränkt ist, dass es also für jede Wahl einer
> oberen Schranke S ein N gibt, so dass [mm]x_N>S[/mm] für alle [mm]n>N[/mm]
> gilt.
>
> Nun kannst du mit dem [mm]\varepsilon[/mm]-Kriterium zeigen, dass
> [mm]\bruch{1}{x_n}[/mm] den Grenzwert 0 hat (und umgekehrt).
Dass die bestimmte Divergenz in [mm] +\infty, [/mm] bedeutet, dass es quasi keine obere Schranke gibt, hab ich mir auch klargemacht. Nur kann ich nicht nachvollziehen, wie du dann auf den nächsten Schritt kommst. *schäm*
|
|
|
| |
|
Hallo!
Ich glaube, man kann das so machen:
[mm] \limes_{n\to\infty} x_n=+\infty [/mm]
[mm] \gdw \forall [/mm] K>0 (da [mm] a_n>0) \exists n_0\in \IN: [/mm]
[mm] a_n>K, \forall n\ge n_0 [/mm]
[mm] \gdw \forall \varepsilon=\frac{1}{K}>0, \exists n_0\in \IN: [/mm]
[mm] \frac{1}{a_n}<\frac{1}{K}=\varepsilon, \forall n\ge n_0 [/mm]
[mm] \gdw \limes_{n\to\infty} \frac{1}{x_n}=0 [/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo!
Ich glaube, man kann das so machen:
[mm] \limes_{n\to\infty} x_n=+\infty
[/mm]
[mm] \gdw \forall [/mm] K>0 (da [mm] a_n>0) \exists n_0\in \IN:
[/mm]
[mm] a_n>K, \forall n\ge n_0
[/mm]
[mm] \gdw \forall \varepsilon=\frac{1}{K}>0, \exists n_0\in \IN:
[/mm]
[mm] \frac{1}{a_n}<\frac{1}{K}=\varepsilon, \forall n\ge n_0
[/mm]
[mm] \gdw \limes_{n\to\infty} \frac{1}{x_n}=0
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:06 Di 16.11.2004 | | Autor: | baskolii |
Sorry, hab die Antwort zweimal gepostet, kommt nicht wieder vor.
|
|
|
|
