Grenzwerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Mo 27.03.2006 | | Autor: | tom202 |
| Aufgabe | [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{n^2+1}{n+1} * (\wurzel{n^2+3}-n[/mm]
und
[mm] \limes_{n \to \infty} (\bruch{n-1}{n+1})^n[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo allerseits, ich habe da 2 komplizierte Grenzwertaufgaben, die ich nicht alleine lösen kann. Habs mit umformen, erweitern usw versucht, aber bin auf kein Resultat gekommen. Thanks für eure Bemühungen!
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Hallo Tom,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Deine erste Folge ist für mich leider nicht ganz zu entziffern. Gehört die Klammer in den Nenner oder in den Zähler?
Aber klammere doch aus dem Klammerterm mal $n_$ aus ...
Bei der 2. Folge kann man folgendermaßen umformen:
[mm] $\left(\bruch{n-1}{n+1}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{n+1-2}{n+1}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{n+1}{n+1}+\bruch{-2}{n+1}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \left(1+\bruch{-2}{n+1}\right)^n$
[/mm]
Nun diesen Ausdruck mit [mm] $\left(1+\bruch{-2}{n+1}\right)^1$ [/mm] erweitern und man erhält u.a. einen bekannten Grenzwert mit:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{a}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \exp(a) [/mm] \ = \ [mm] e^a$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Mo 27.03.2006 | | Autor: | tom202 |
ah sorry, bei der ersten Aufgabe hab ich die Klammer vergessen.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2+1}{n+1}( \wurzel{n^2+3}-n) [/mm]
...so wäre es richtig! danke für deinen Tipp bei der zweiten Aufgabe!
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Hallo Tom!
Der Klammerausdruck gehört also in den Zähler?
Dann betrachte doch mal die Grade von Zähler und Nenner (= höchste n-Potenz). Dann solltest Du erhalten, dass der Zählergrad echt größer ist als der Nennergrad.
Was heißt das für den Grenzwert?
War Blödsinn, ... ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") !
Erweitere diesen Ausdruck mit dem Term [mm] $\left( \ \wurzel{n^2+3} \ \red{+} \ n \ \right)$ [/mm] (Stichwort: 3. binomische Formel) und klammere anschließend "möglichst viel" $n_$ aus.
Gruß vom
Roadrunner
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