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| Aufgabe | Existieren folgende Grenzwerte, und berechne sie gegebenenfalls:
1. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1+ [mm] \bruch{1}{x^2})^x
[/mm]
2. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1+ [mm] \bruch{1}{x})^{x^2}
[/mm]
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Hallo zusammen !
Habe mal wieder eine Frage zu Grenzwerten ! Leider habe ich keine Ahnung, wie man diese hier berechnet. Wäre nett, wenn mir einer helfen könnte !
zu 1. Aus ner Skizze habe ich dass der Grenzwert für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] anscheinend gegen e geht. Bloss rechnerisch krieg ichs nicht auf die Reihe.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1+ [mm] \bruch{1}{x^2})^x [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} e^{(x*ln( 1+ \bruch{1}{x^2}))}. [/mm]
Bis zu dieser Umformung komm ich. Bloss dann beissts aus.
zu2. Wieder aus ner Skizze seh ich, dass es hier keinen Grenzwert gibt, der [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] geht gegen [mm] \infty. [/mm]
Wäre nett, wenn mir einer diese Aufgaben erklären könnte, und ichs endlich auch versteh !
Vielen lieben Dank  !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Fr 14.07.2006 | | Autor: | Tequila |
Hallo !
wahrscheinlich meinst du das x -> [mm] \infty [/mm] geht
die e-Funktion ist Definiert als:
[mm] e^x [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{x}{n})^{n}
[/mm]
zu 1)
aber bei deiner ersten Aufgabe ist unten ein [mm] x^{2}
[/mm]
also geht der Term gegen 0
dann hast du [mm] 1^{x} [/mm] und davon der Grenzwert ist 1
zu 2) [mm] \infty [/mm] ist richtig !
wenn aber dort [mm] (1+\bruch{1}{n})^{2n} [/mm] stehen würde dann wäre der Grenzwert = [mm] e^{2}
[/mm]
Nur so als Hinweis 
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Danke erstmal !
Leider versteh ich das nicht so ganz ...
Könntest du das bei 1. und 2. vielleicht ein bisschen näher ausführen ? Also so wie ich das rechnerisch zeigen kann ...
Vor allem bei 2.) ! Den Grenzwert kenn ich, aber wie zeig ich das, dass er [mm] \infty [/mm] wird ?
Danke für eure Bemühungen !
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Hallo,
also hier zum ersten Grenzwert. Den binomischen Satz kennst du sicherlich. Den musst du hier verwenden.
Wir betrachten [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(1+x^{-2})^{x} [/mm] für [mm] x\in\IN [/mm] .
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(1+x^{-2})^{x}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}(1^{x}+\vektor{x \\ 1}1^{x-1}x^{-2}+...+\vektor{x \\ x}x^{-2}^{x})
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\summe_{i=0}^{x}1^{x-i}x^{-2}^{i}
[/mm]
Das heißt also, bei jedem, außer dem ersten Term, bleibt das [mm] x^{2} [/mm] im Nenner stehen, die Potenz erhöht sich. Da x gegen unendlich läuft, geht also jeder Term, außer dem ersten, gegen null. Damit ist der Grenzwert 1.
Viele Grüße
Daniel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:29 Fr 14.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Daniel!
> also hier zum ersten Grenzwert. Den binomischen Satz kennst
> du sicherlich. Den musst du hier verwenden.
>
> Wir betrachten [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}(1+x^{-2})^{x}.[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}(1+x^{-2})^{x}[/mm]
> [mm]=\limes_{x\rightarrow\infty}(1^{x}+\vektor{x \\ 1}1^{x-1}x^{-2}+...+\vektor{x \\ x}x^{-2}^{x})[/mm]
>
> [mm]=\limes_{x\rightarrow\infty}\summe_{i=0}^{x}1^{x-i}x^{-2}^{i}[/mm]
Hier musst du aufpassen, dass du $x [mm] \in \IN$ [/mm] forderst und das als Folge auffasst (da die Funktion sich `brav' verhaelt ist das OK)!
>
> Das heißt also, bei jedem, außer dem ersten Term, bleibt
> das [mm]x^{2}[/mm] im Nenner stehen, die Potenz erhöht sich. Da x
> gegen unendlich läuft, geht also jeder Term, außer dem
> ersten, gegen null. Damit ist der Grenzwert 1.
Vorsicht, so darfst du nicht rechnen: Du hast schliesslich unendlich viele Summanden (fuer $x [mm] \to \infty$)! [/mm] Das gleiche Argument koenntest du auch fuer [mm] $\lim_{x\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x$ [/mm] anwenden und somit $e = 1$ zeigen...
LG Felix
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Hallo Felix,
das stimmt ja. Da habe ich mich wohl von der ersten Antwort etwas verleiten lassen. Wieder mal etwas zu voreilig...!
Danke für die Korrektur.
Viele Grüße
Daniel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 So 16.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 Fr 14.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Tequila!
> die e-Funktion ist Definiert als:
>
> [mm]e^x[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{x}{n})^{n}[/mm]
>
> zu 1)
> aber bei deiner ersten Aufgabe ist unten ein [mm]x^{2}[/mm]
> also geht der Term gegen 0
> dann hast du [mm]1^{x}[/mm] und davon der Grenzwert ist 1
Vorsicht! Du bekommst zwar das richtige Ergebnis raus, aber der Rechenweg ist so nicht richtig! Wenn dort $x$ anstatt [mm] $x^2$ [/mm] im Nenner steht, waer nach deiner Argumentation das Ergebnis ebenfalls 1, da [mm] $\frac{1}{x}$ [/mm] gegen 0 geht und [mm] $1^x$ [/mm] gegen 1...
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:29 Fr 14.07.2006 | | Autor: | Tequila |
ja stimmt da hast du natürlich recht das wird vielleicht nicht so ganz deutlich
das muss man sich halt merken ... ich finde mit ein bischen übung und routine hat man das auch drin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Fr 14.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hi Julchen!
> Existieren folgende Grenzwerte, und berechne sie
> gegebenenfalls:
>
> 1. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (1+ [mm]\bruch{1}{x^2})^x[/mm]
>
> 2. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (1+ [mm]\bruch{1}{x})^{x^2}[/mm]
>
> Hallo zusammen !
>
> Habe mal wieder eine Frage zu Grenzwerten ! Leider habe ich
> keine Ahnung, wie man diese hier berechnet. Wäre nett, wenn
> mir einer helfen könnte !
>
> zu 1. Aus ner Skizze habe ich dass der Grenzwert für
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] anscheinend gegen e geht. Bloss
> rechnerisch krieg ichs nicht auf die Reihe.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (1+ [mm]\bruch{1}{x^2})^x[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} e^{(x*ln( 1+ \bruch{1}{x^2}))}.[/mm]
> Bis zu dieser Umformung komm ich. Bloss dann beissts aus.
Das ist schon ganz gut so. Nun ist [mm] $e^x$ [/mm] stetig, womit [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} e^{(x*ln( 1+ \bruch{1}{x^2}))} [/mm] = [mm] e^{\limes_{n\rightarrow\infty} (x*ln( 1+ \bruch{1}{x^2}))}$ [/mm] ist.
Und nun ist $x [mm] \ln\left(1 + \frac{1}{x^2}\right) [/mm] = [mm] \frac{\ln\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)}{\frac{1}{x}}$: [/mm] Zaehler und Nenner gehen gegen 0, wenn $x [mm] \to \infty$ [/mm] geht. Also benutze l'Hospital, damit bekommst du den Grenzwert (naemlich 0) und kannst somit die Aufgabe loesen.
> zu2. Wieder aus ner Skizze seh ich, dass es hier keinen
> Grenzwert gibt, der [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] geht gegen
> [mm]\infty.[/mm]
Genau. Ich denke, du kannst das mit genau der gleichen Methode wie bei 1 loesen. (Habs nicht probiert; falls es nicht klappt melde dich nochmal...)
LG Felix
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