Grenzwerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Di 16.01.2007 | | Autor: | Ron85 |
Hi Matheraum!
Ich soll folgende Grenzwerte berechnen:
a) [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{a^x-b^x}{x} [/mm] a>0, b>0
b) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x((1+\bruch{1}{x})^{x}-e)
[/mm]
Kann mir jemand erklären, wie das mache?
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Betrachte die Funktionen [mm]f(x) = a^x[/mm] und [mm]g(x) = b^x[/mm] und stelle ihre Differenzenquotienten für die Stelle [mm]x_0 = 0[/mm] auf. Für x [mm] \to [/mm] 0 streben die ja definitionsgemäß gegen [mm]f'(0)[/mm] bzw. [mm]g'(0)[/mm]. Und schließlich noch das:
[mm]\frac{a^x - b^x}{x} = \frac{\left( a^x - 1 \right) - \left( b^x - 1 \right)}{x} = \frac{a^x - 1}{x} - \frac{b^x - 1}{x}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Di 16.01.2007 | | Autor: | Ron85 |
Ja Ok verstanden.
Was ist mit der b)?
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b) ist ja ein Trümmer. Ich habe [mm]x = \frac{1}{t}[/mm] substituiert und den Grenzübergang [mm]t \to 0+0[/mm] durchgeführt. Nach Anwendung von L'Hospital habe ich
[mm]\lim_{t \to 0+0} \left( \left( 1 + t \right)^{\frac{1}{t}} \cdot \left( \frac{1}{(1+t)t} - \frac{\ln{(1+t)}}{t^2} \right) \right) = \lim_{t \to 0+0} \left( 1 + t \right)^{\frac{1}{t}} \cdot \lim_{t \to 0+0} \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1} - \frac{1}{t^2} \left( t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} \mp \ldots \right) \right)[/mm]
erhalten. Der erste Limes ist [mm]\operatorname{e}[/mm], und beim zweiten heben sich glücklicherweise die störenden Glieder [mm]\frac{1}{t}[/mm] gegenseitig weg.
Mag sein, daß das auch einfacher geht.
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