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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Mo 22.10.2007 | | Autor: | vivo |
Hallo,
Für welche der folgenden Funktionen [mm] f_i [/mm] : [mm] \IR [/mm] ^2 \ (0,0) --> [mm] \IR [/mm] existiert der Grenzwert [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} f_i [/mm] (x,y)
[mm] f_1 [/mm] (x,y) := sin(1/x) cos(y)
[mm] f_2 [/mm] (x,y) := cos(1/y) sin(x)
[mm] f_3 [/mm] (x,y) := [mm] e^{\bruch{1}{x^2+y^2}} e^{-x}
[/mm]
[mm] f_3 [/mm] (x,y) := [mm] e^{\bruch{-1}{x^2+y^2}} e^{y}
[/mm]
[mm] f_1 [/mm] entlang der x-Achse ist y=0
[mm] f_1 [/mm] (x,0) = sin(1/x) cos(0) = sin(1/x) Grenzwert existiert nicht, da [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} [/mm] alternierend ist, kann man das so machen ich denk mal das man das noch irgendwie zeigen müsste
vielen dank für eure Hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Mo 22.10.2007 | | Autor: | vivo |
[mm] f_3 [/mm] (x,y) kann man hier einfach (0,0) einsetzten und sagen dass der GW nicht existiert da [mm] e^{-0} [/mm] * [mm] e^{1/(0+0)} [/mm] = [mm] \infty [/mm] ist
[mm] f_4 [/mm] (x,y) genauso nur ergebnis 0 und GW
irgendwie scheint mir das zu einfach ... da wir einige aufgaben hatten wo man die existenz des GW aufwändiger zeigen musste aber ich weiß hier nicht wie ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 Di 23.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
im Prinzip ja, konkret sagst du :
für (x,y) gegen 0 wird der erste Faktor beliebig groß, der zweite ist in einer Umgebung von 0 beschränkt, deshalb Divergenz.
bei [mm] f_4 [/mm] entsprechend
wählt man die Umgebung [mm] U=x^2+y^2<\varepsilon [/mm] vonn (0,0) beliebig klein, wird der erste Faktor beliebig klein, der zweite ist beschränkt also GW o.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:07 Di 23.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist richtig.
Aber Warnung, nur weil es nicht konvergiert, um Konvergenz zu beweisen darf man nicht nur auf einer Achse in den 0 Punkkt laufen. Aber für nicht Konv. braucht mann nur nicht konv in einer speziellen Richtung!
Du solltest sagen: in jeder noch so kleinen Umgebung von 0 nimmt sin(1/x) beliebig oft alle Werte zwischen -1 und +1 an.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:11 Di 23.10.2007 | | Autor: | vivo |
vielen dank,
und [mm] f_2 [/mm] (x,y):= cos(1/y)*sin(x) ist konvergent gegen 0 ? da sin(0)=0 ????
sind [mm] f_3 [/mm] und [mm] f_4 [/mm] richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:30 Di 23.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> vielen dank,
>
> und [mm]f_2[/mm] (x,y):= cos(1/y)*sin(x) ist konvergent gegen 0 ? da
> sin(0)=0 ????
wieder richtig, aber hier musst du genauer argumentieren da ja auch cos1/y wackelt: Argument: ich wähle eine Epsilon Umgebung von 0 [mm] :x^2+y^2<\varepsilon^2 [/mm] , [mm] |cos1/y|\le1 [/mm] und sinx [mm] <\varepsilon. [/mm] dann das Produkt [mm] <\varepsilon
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:42 Di 23.10.2007 | | Autor: | vivo |
ok vielen dank für die antworten! ich hatte da eben einige aufgaben wo man das durch abschätzungen viel aufwändiger zeigen musste und leider ist mir nicht so ganz klar wann man den grenzwert einfach einsetzen kann und wann man abschätzungen betreiben muss.
zum Beispiel
f(x,y) := [mm] (x^2+y^2)^{x} [/mm] warum kann ich hier nicht gleich sagen ^0 ist 1 und muss den Umweg über [mm] exp(xln(x^2+y^2) [/mm] und Abschätzung [mm] |xln(x^2+y^2|<(x^2+y^2)^{0,5} ln(x^2+y^2)=2(x^2+y^2)^{0,5} ln(x^2+y^2)^{0,5} [/mm] wegen lim [mm] (x^2+y^2)^{0,5}=0 [/mm] und lim xln(x)=0 ist lim f(x,y) = 0 ?????
warum kann man dann bei [mm] f_3 [/mm] und [mm] f_4 e^0 [/mm] = 1 sagen und in obigen beispiel nicht gleich ^0 ?????????
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Hallo vivo!
Hier würde durch die Grenzwertbetrachtung [mm] $(x,y)\rightarrow(0,0)$ [/mm] der unbestimmte Ausdruck [mm] $0^0$ [/mm] entstehen. Von daher ist hier im Gegensatz zu den anderen Aufgaben der "Umweg" über die Umformung zur e-Funktion erforderlich.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Di 23.10.2007 | | Autor: | vivo |
ok, vielen dank, das ist logisch, aber warum kann ich nach der umformung zur e funktion nicht sagen [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)} e^{xln(x^2+y^2)} [/mm] = 1
sondern muss noch obige Abschätzung durchführen?????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Di 23.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] x*lnx^2 [/mm] x gegen 0 , [mm] lnx^2 [/mm] gegen [mm] -\infty [/mm] was willst du also in den Exponenten schreiben? Du kannst doch nicht beschliessen was schneller geht, gegen 0 oder gegen [mm] \infty! [/mm] Dazu braucht man schon genauere Überlegungen.
Gruss leduart.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:08 Di 23.10.2007 | | Autor: | vivo |
ach natürlich ....... jetzt war ich aber mal wieder dick auf dem schlauch gestanden .... danke!
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