Grenzwerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:53 Do 17.01.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Berechne folgende Grenzwerte:
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n!}
[/mm]
b) [mm] \limes_{x\rightarrow0} \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n-1}}{n!}
[/mm]
c) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2}{n!} [/mm] |
Bei der Aufgabe a) bin ich folgendermassen vorgegangen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n!} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n}*\wurzel[n]{n-1}*\wurzel[n]{n-2}*...*\wurzel[n]{1}
[/mm]
Da jeder einzelne Faktor 1 ergibt (für n gegen [mm] \infty) [/mm] ergibt die ganze Folgen dann 1.
Doch laut meinen Lösungsangaben stimmt dies aber nicht...!
Was habe ich da falsch gemacht?
Aufgabe b)
Laut meinen Angaben sollte dieser Grenzwert (bzw. diese Summe) 1 ergeben. Doch ich kann mir dies nicht erklären. Denn für x gegen 0 ergibt der Zähler ja immer 0. Und so sollte doch die ganze Summe dann auch 0 ergeben. Oder was mache ich falsch?
Aufgabe c)
Da habe ich zuerst mal mit n gekürzt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2}{n!} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{(n-1)!} [/mm]
Doch nun wusste ich nicht mehr weiter....!
|
|
| |
|
Hallo jokerose!
Forme um wie folgt:
[mm] $$\bruch{n^2}{n!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n*n}{1*2*3*...*(n-2)*(n-1)*n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1}*\bruch{1}{2}*\bruch{1}{3}*...*\bruch{1}{n-2}*\bruch{n}{n-1}*\bruch{n}{n} [/mm] \ = \ ...$$
Nun die Brüche mal einzeln untersuchen (insbesondere den drittletzten).
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Hallo jokerose!
Wegen des ersten Summanden für $n \ = \ 1$ darfst Du ja nicht einfach $x \ = \ 0$ einsetzen.
Auch hier umformen:
[mm] $$\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n-1}}{n!} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^n*x^{-1}}{n!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x}*\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^n}{n!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\summe^{\infty}_{n=\red{0}}\bruch{x^n}{n!}-1}{x}$$
[/mm]
Der Ausdruck für die Summe im Zähler sollte Dir bekannt vorkommen (Stichwort: e-Funktion).
Anschließend mit  de l'Hospital vorgehen.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Do 17.01.2008 | | Autor: | jokerose |
hallo roadrunner,
Vielen Dank für die Antwort.
Aufgabe c) ergibt also dann 0 als Grenzwert, da [mm] \bruch{1}{n-2} [/mm] ja gegen 0 konvergiert für x gegen [mm] \infty.
[/mm]
Aufgabe b) ist mir nun auch klar. 
Aber wie sieht es nun wohl mit Aufgabe a) aus? Wäre sehr froh, wenn mir da noch jemand helfen könnte...!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Do 17.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hallo roadrunner,
>
> Vielen Dank für die Antwort.
> Aufgabe c) ergibt also dann 0 als Grenzwert, da
> [mm]\bruch{1}{n-2}[/mm] ja gegen 0 konvergiert für x gegen [mm]\infty.[/mm]
> Aufgabe b) ist mir nun auch klar.
>
> Aber wie sieht es nun wohl mit Aufgabe a) aus? Wäre sehr
> froh, wenn mir da noch jemand helfen könnte...!
es ist [mm] $lim_{n \to \infty}\wurzel[n]{n!}=\infty$. [/mm] Das kann man auf verschiedenen Wegen zeigen:
Man kann z.B. mit dem Quotientenkriterium nachweisen, dass die Potenzreihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}$ [/mm] den Konvergenzradius [mm] $\infty$ [/mm] hat. Nach Cauchy-Hadamard folgt dann insbesondere, dass auch [mm] $\limsup_{n \to \infty} \wurzel[n]{n!}=\infty$ [/mm] und damit hier auch [mm] $\lim_{n \to \infty} \wurzel[n]{n!}=\infty$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Do 17.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechne folgende Grenzwerte:
>
> a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n!}[/mm]
>
> b) [mm]\limes_{x\rightarrow0} \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n-1}}{n!}[/mm]
>
> c) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2}{n!}[/mm]
> Bei der Aufgabe a) bin ich folgendermassen vorgegangen:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n!}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n}*\wurzel[n]{n-1}*\wurzel[n]{n-2}*...*\wurzel[n]{1}[/mm]
>
> Da jeder einzelne Faktor 1 ergibt (für n gegen [mm]\infty)[/mm]
> ergibt die ganze Folgen dann 1.
> Doch laut meinen Lösungsangaben stimmt dies aber
> nicht...!
> Was habe ich da falsch gemacht?
die Anzahl der Faktoren wächst hier mit $n [mm] \to \infty$ [/mm] auch gegen [mm] $\infty$, [/mm] d.h. das Problem ist, dass es sich hier um ein unendliches Produkt handelt.
Wenn Du mit einem $k [mm] \in \IN$ [/mm] endlich viele Folgen [mm] $(a_n^{(1)})_n$, [/mm] ..., [mm] $(a_n^{(k)})_n$ [/mm] hast mit [mm] $a_n^{(m)} \to a^{(m)}$ [/mm] ($m=1,..,k$) (es sei immer $n [mm] \to \infty$ [/mm] bei den Pfeilen [mm] $\to$ [/mm] gemeint), so gilt zwar, dass
[mm] $a_n^{(1)}*...*a_n^{(k)} \to a^{(1)}*...*a^{(k)}$, [/mm] aber das $k$ ist dabei eine beliebige, aber feste Zahl aus [mm] $\IN$.
[/mm]
Dabei kann $k=100$ oder $k=10000$ sein, aber wenn das $k$ einmal festgelegt wurde, darf es nicht mehr verändert werden.
Also:
Z.B. für $k=3$:
Gelte [mm] $a_n^{(1)} \to a^{(1)}$, $a_n^{(2)} \to a^{(2)}$ [/mm] und [mm] $a_n^{(3)} \to a^{(3)}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $a_n^{(1)}*a_n^{(2)}*a_n^{(3)} \to a^{(1)}*a^{(2)}*a^{(3)}$.
[/mm]
Für jedes $n$ stehen hier bei dem Produkt immer $k=3$ Faktoren, also stets eine feste(!!!) endliche Anzahl von Faktoren.
Bei Dir hast Du aber:
Für $n=1$: Einen Faktor dort stehen, nämlich: [mm] $\sqrt[1]{1}$
[/mm]
Für $n=2$: Zwei Faktoren dort stehen, nämlich: [mm] $\sqrt[2]{2}*\sqrt[2]{1}$
[/mm]
Für $n=3$: Drei Faktoren dort stehen, nämlich: [mm] $\sqrt[3]{3}*\sqrt[3]{2}*\sqrt[3]{1}$
[/mm]
.
.
.
Für [mm]n=m[/mm]: $m$ Faktoren dort stehen, nämlich: [mm]\sqrt[m]{m}*\sqrt[m]{m-1}*...*\sqrt[m]{1}[/mm]
D.h. mit $n$ gegen [mm] $\infty$ [/mm] stehen rechterhand nicht endlich viele konvergente Folgen (als Faktoren), sondern unendlich viele.
Betrachte auch mal analog die Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] mit
[mm] $x_n:=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
[/mm]
Du weißt, dass [mm] $\lim_{n \to \infty} x_n=e=2,7...$ [/mm] ist, aber wenn Du [mm] $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\left(1+\frac{1}{n}\right)*...*\left(1+\frac{1}{n}\right)$ [/mm] (rechterhand $n$ Faktoren) schreibst, so strebt jeder dieser Faktoren rechterhand gegen $1$, d.h. mit Deiner Argumentation, wenn sie denn anwendbar wäre, wäre $e=2,7...=1$ 
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
