Grenzwerte < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:13 Mo 01.06.2009 | | Autor: | juel |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Grenzwerte
a) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{ln (x)}{x}
[/mm]
b) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{sin² (x)}{1 - cos (x)}
[/mm]
c) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \{\bruch{1}{ln (x+1)} - \bruch{1}{x}} [/mm] |
zu a)
[mm] \{\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{ln (x)}{x} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{x}}{1} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1}{x} = 0 }
[/mm]
zu b)
[mm] \{\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{sin² (x)}{1 - cos (x)} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1 - cos²(x)}{1 - cos (x)} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{- sin² (x)}{sin(x)} = \limes_{x\rightarrow\infty} ( sin (x) ) = 0 }
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:18 Mo 01.06.2009 | | Autor: | schotti |
a) ist richtig
b) ist falsch
c) wäre 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:45 Mo 01.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie die Grenzwerte
>
> a) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{ln (x)}{x}[/mm]
>
>
> b) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{sin² (x)}{1 - cos (x)}[/mm]
>
>
> c) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \{\bruch{1}{ln (x+1)} - \bruch{1}{x}}[/mm]
>
> zu a)
>
> [mm]\{\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{ln (x)}{x} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{x}}{1} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1}{x} = 0 }[/mm]
wurde ja schon gesagt: Ist korrekt. Du verwendest ja die Regel von Hospital, Fall " [mm] $\infty/\infty$".
[/mm]
>
> zu b)
>
> [mm]\{\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{sin² (x)}{1 - cos (x)} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1 - cos²(x)}{1 - cos (x)} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{- sin² (x)}{sin(x)} = \limes_{x\rightarrow\infty} ( sin (x) ) = 0 }[/mm]
Hier habe ich keine Ahnung, was Du machst. Hospital ist nicht anwendbar (welcher Fall sollte vorliegen? Bitte beachte, dass man, bevor man einen Satz anwendet, sich vergewissert, dass die Voraussetzungen zur Anwendung des Satzes gegeben sind!). Der Anfang ist okay:
[mm] $$\frac{\sin^2(x)}{1-\cos(x)}=\frac{1-\cos^2(x)}{1-\cos(x)}\,.$$
[/mm]
Jetzt kannst Du [mm] $1-\cos^2(x)=\big(1+\cos(x)\big)\big(1-\cos(x)\big)$ [/mm] ausnzutzen; und dann beachtest Du, dass [mm] $\lim_{x \to \infty}\cos(x)$ [/mm] nicht existiert (warum?).
Zu c):
[mm] $$\frac{1}{\ln(x+1)}-\frac{1}{x}=\frac{x-\ln(x+1)}{x*\ln(x+1)}\,.$$
[/mm]
Hier ist Hospital anwendbar (dazu: es gilt die Abschätzung [mm] $\ln(x+1) \le 2\big(\sqrt{x+1}-1\big)$ [/mm] (für alle $x > [mm] -1\,$), [/mm] woraus man schließen kann, dass wieder der Fall [mm] "$\infty/\infty$" [/mm] vorliegt).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:33 Mo 01.06.2009 | | Autor: | kushkush |
zu c:
wäre es hier nicht besser wenn man gleich [mm] \infty [/mm] einsetzt und sagt [mm] $\frac{1}{x}$ [/mm] geht gegen 0 und [mm] $\frac{1}{ln(x+1)}$ [/mm] dementsprechend auch? an stelle des erweiterns
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:04 Mo 01.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo kushkush!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Korrekt.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Di 02.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> zu c:
>
> wäre es hier nicht besser wenn man gleich [mm]\infty[/mm] einsetzt
> und sagt [mm]\frac{1}{x}[/mm] geht gegen 0 und [mm]\frac{1}{ln(x+1)}[/mm]
> dementsprechend auch? an stelle des erweiterns
ja Danke... Das war mal wieder eine 'Warum einfach, wenn es auch kompliziert geht'-Strategie von mir. Natürlich hast Du Recht, nur das 'Einsetzen' würde ich da nicht sagen, denn man setzt nicht [mm] $\infty$ [/mm] ein (wobei man sowas vll. in der Maß-/Wahrscheinlichkeitstheorie durchaus auch macht), sondern
[mm] $$\lim_{x \to \infty} \Big(\frac{1}{\ln(x+1)}-\frac{1}{x}\Big)=\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\ln(x+1)}-\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x}=0-0=0\,.$$
[/mm]
Dabei benutzt man insbesondere, dass [mm] $\lim_{x \to \infty}\ln(x+1)=\infty\,.$
[/mm]
Danke für's aufpassen und mitdenken! 
Gruß,
Marcel
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