Grenzwerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:00 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Jennyyy |
| Aufgabe | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] 1+\bruch{1}{2n+1})^{n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{n}{2^{n}})^{n}
[/mm]
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Ich möchte hier beweisen dass die Grenzwerte existieren und sie bestimmen.
Ich hab versucht auf Umformungen zu kommen, von bekannten Folgen, bei denen der Grenzwert bekannt ist, aber da kommt man zu nichts.
Wie könnte ich sonst vorgehen?
LG
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Hallo Jennyyy,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] ( [mm]1+\bruch{1}{2n+1})^{n}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{n}{2^{n}})^{n}[/mm]
>
>
> Ich möchte hier beweisen dass die Grenzwerte existieren
> und sie bestimmen.
> Ich hab versucht auf Umformungen zu kommen, von bekannten
> Folgen, bei denen der Grenzwert bekannt ist, aber da kommt
> man zu nichts.
Nicht? Ich finde, das klappt ..
> Wie könnte ich sonst vorgehen?
Erstmal die erste Folge:
Es ist [mm] $\left(1+\frac{1}{2n+1}\right)^n=\left(1+\frac{1}{2\cdot{}\left(n+\frac{1}{2}\right)}\right)^n=\left(1+\frac{\frac{1}{2}}{n+\frac{1}{2}}\right)^n$
[/mm]
Nun substituiere mal [mm] $k:=n+\frac{1}{2}$
[/mm]
Dann strebt mit [mm] $n\to\infty$ [/mm] sicher auch [mm] $k\to\infty$ [/mm] und du hast:
[mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2n+1}\right)^n=\lim\limits_{k\to\infty}\left(1+\frac{\frac{1}{2}}{k}\right)^{k-\frac{1}{2}}$
[/mm]
Jetzt noch ein klein wenig Potenzrechnung und Grenzwertsätze und du solltest auf einen bekannten GW kommen.
Was ist [mm] $\lim\limits_{l\to\infty}\left(1+\frac{x}{l}\right)^{l}$ [/mm] ?
Für die andere Folge würde ich spontan an das Sandwichlemma danken, eine untere Sandwichhälfte ist mit 1 ja schnell gefunden, aber über die obere habe ich noch nicht genügend nachgedacht ...
>
> LG
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:46 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jennyyy!
Ich greife hier mal schachuzipus' Idee auf und liefere folgende Abschätzung:
[mm] $$1+\bruch{n}{2^n} [/mm] \ < \ [mm] 1+\bruch{1}{n}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
> Hallo Jennyyy!
>
>
> Ich greife hier mal schachuzipus' Idee auf und liefere
> folgende Abschätzung:
> [mm]1+\bruch{n}{2^n} \ < \ 1+\bruch{1}{n}[/mm]
Gut, das stimmt offensichtlich, allerdings ist [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{n}{2^n}\right)^n=1$
[/mm]
Und im Sinne des Sandwichlemmas ist deine obere Brötchenhälfte doch nicht geeignet, oder?
Die strebt doch gegen e, damit ist nicht beweisen, dass die Ausgangsfolge zwischen zwei Folgen, die gegen 1 streben, eingequetscht werden kann ...
> Gruß
> Loddar
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:55 Mo 11.01.2010 | | Autor: | reverend |
Guten Abend,
das gibt mir auch seit mehr als einer halben Stunde zu denken. Loddars Abschätzung ist ja schonmal gut, um die Existenz des Grenzwerts g zu zeigen. Es gilt also sicher [mm] 1\le g\le{e}.
[/mm]
Wie man dann zur real existierenden 1 kommt, will sich mir aber noch nicht erschließen.
Tricky.
lg
reverend
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> Ich greife hier mal schachuzipus' Idee auf und liefere
> folgende Abschätzung:
> [mm]1+\bruch{n}{2^n} \ < \ 1+\bruch{1}{n}[/mm]
>
> Gruß
> Loddar
Hallo,
anstatt dieser Ungleichung kann man natürlich auch
locker die folgende haben:
[mm]1+\bruch{n}{2^n} \ < \ 1+\bruch{1}{n^2}[/mm]
(gültig ab n=10, zu beweisen mit vollst. Induktion)
Nachher setzt man [mm] $\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n\ [/mm] =\ [mm] \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2*\frac{1}{n}}\ [/mm] =\ [mm] \left[\,\underbrace{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}}_{\to\ e}\,\right]^{\frac{1}{n}}$
[/mm]
etc.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:32 Di 12.01.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
das ist es.
Schöne Idee!
lg
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:11 Di 12.01.2010 | | Autor: | Jennyyy |
Super! Ich danke euch allen ;)
Lg Jenny
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