Grenzwerte < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Mo 01.02.2010 | | Autor: | Tolpi |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
a) [mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{sin(x^3+x)}{x^3+x}
[/mm]
b) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{ln(x)}{x^a} [/mm] , a>0
c) [mm] \limes_{x\rightarrow0}(\bruch{1}{sin(x)}-\bruch{1}{x}) [/mm] |
Hallo,
es wäre nett wenn jemand von euch mir einfach mal einen Ansatz der Aufgabe sagen könnte, da ich im moment gar keine Idee habe wie ich den Grenzwert berechnen soll.
Für x einfach die Werte einsetzen und schauen wohin die Funktion läuft ist wahrscheinlich nicht richtig. Ich bin wirklich für jeden Tipp dankbar.
Danke euch schonmal.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Mo 01.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
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> a) [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{sin(x^3+x)}{x^3+x}[/mm]
>
> b) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{ln(x)}{x^a}[/mm] , a>0
>
> c) [mm]\limes_{x\rightarrow0}(\bruch{1}{sin(x)}-\bruch{1}{x})[/mm]
> Hallo,
>
> es wäre nett wenn jemand von euch mir einfach mal einen
> Ansatz der Aufgabe sagen könnte, da ich im moment gar
> keine Idee habe wie ich den Grenzwert berechnen soll.
>
> Für x einfach die Werte einsetzen und schauen wohin die
> Funktion läuft ist wahrscheinlich nicht richtig. Ich bin
> wirklich für jeden Tipp dankbar.
>
> Danke euch schonmal.
>
> lg
Zu a): Substituiere $z= [mm] x^3+x$
[/mm]
Zu b): de l'Hospital
Zu c): 2 x de l'Hospital
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Mo 01.02.2010 | | Autor: | Tolpi |
ich hab jetzt mal l'hospital bei der B) versucht aber hänge an folgender stelle:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{ln(x)}{x^a}
[/mm]
$f(x)=ln(x)$
[mm] g(x)=x^a
[/mm]
daraus folgt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x)= [mm] \infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] g(x)= [mm] \infty
[/mm]
so nach l'hospitel muss ja nun folgendes gelten:
[mm] \bruch{f'(x)}{g'(x)} [/mm] für x [mm] \rightarrow\infty
[/mm]
so dann kommt:
[mm] \bruch{f'(x)}{g'(x)} =\bruch{\bruch{1}{x}}{?}
[/mm]
leider weiß ich nicht wie ich denn [mm] x^a [/mm] ableiten soll.... vielleicht könnte ich an der stelle nochmal einen tipp haben 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 Mo 01.02.2010 | | Autor: | fred97 |
[mm] (x^a)'= ax^{a-1}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Mo 01.02.2010 | | Autor: | Tolpi |
hm dann verstehe ich das nicht....
denn dann würde ja gelten:
[mm] \bruch{f'(x)}{g'(x)}=\bruch{\bruch{1}{x}}{ax^{a-1}} [/mm] = [mm] \rightarrow-\infty
[/mm]
und dadruch darf ich doch l'hospital gar net anwenden? aber wahrscheinlich stimmt bei meiner überlegung mal wieder etwas nicht ....
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Mo 01.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> hm dann verstehe ich das nicht....
>
> denn dann würde ja gelten:
>
> [mm]\bruch{f'(x)}{g'(x)}=\bruch{\bruch{1}{x}}{ax^{a-1}}[/mm] =
> [mm]\rightarrow-\infty[/mm]
>
> und dadruch darf ich doch l'hospital gar net anwenden? aber
> wahrscheinlich stimmt bei meiner überlegung mal wieder
> etwas nicht ....
[mm] \bruch{\bruch{1}{x}}{ax^{a-1}}= \bruch{1}{ax^a} \to [/mm] 0 für x [mm] \to \infty
[/mm]
FRED
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Mo 01.02.2010 | | Autor: | Tolpi |
Das heißt folgende Lösung wäre zur b) richtig:?
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{ln(x)}{x^a}=\bruch{\infty}{\infty}=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{\bruch{1}{x}}{a^{xa-1}}=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{1}{ax^a}=0
[/mm]
Danke und lg
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Hallo,
> Das heißt folgende Lösung wäre zur b) richtig:?
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{ln(x)}{x^a}=\bruch{\infty}{\infty}=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{\bruch{1}{x}}{\red{ax^{a-1}}}=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{1}{ax^a}=0[/mm]
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Wogegen soll x nun laufen? Gegen 0 oder wie in der Aufgabenstellung gegen [mm] $\infty$ [/mm] ?
Da, wo es rot ist, hattest du dich verschrieben, ich hab's editiert ...
Wenn überall [mm] $x\to\infty$ [/mm] gemeint ist, so ist es richtig!
>
> Danke und lg
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:31 Mo 01.02.2010 | | Autor: | Tolpi |
entschuldigung, da habe ich ausversehen einen copy and paste fehler begangen, natürlich sollte x gegen [mm] \infty [/mm] laufen und nicht gegen 0, tut mir leid...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Mo 01.02.2010 | | Autor: | Tolpi |
dann versuche ich mal die c)
[mm] \limes_{x\rightarrow0}(\bruch{1}{sin(x)}-\bruch{1}{x})=\bruch{0}{0}=\limes_{x\rightarrow0}(\bruch{1}{cos(x)}-\bruch{1}{1})=\limes_{x\rightarrow0}(\bruch{1}{cos(x)})=1
[/mm]
leider habe ich bei der Lösung ehrlich gesagt ein ungutes Gefühl....
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Mo 01.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> dann versuche ich mal die c)
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}(\bruch{1}{sin(x)}-\bruch{1}{x})=\bruch{0}{0}=\limes_{x\rightarrow0}(\bruch{1}{cos(x)}-\bruch{1}{1})=\limes_{x\rightarrow0}(\bruch{1}{cos(x)})=1[/mm]
>
> leider habe ich bei der Lösung ehrlich gesagt ein ungutes
> Gefühl....
Kannst Du auch sagen warum ? Vielleicht siehst Du Deine Fehler selbst ?
bringe das
[mm] \bruch{1}{sin(x)}-\bruch{1}{x}
[/mm]
mal auf einen Bruch
FRED
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Mo 01.02.2010 | | Autor: | Tolpi |
ok, ich versuche das ganze nochmal mit einer anderen idee:
[mm] \limes_{x\rightarrow0}(\bruch{1}{sin(x)}-\bruch{1}{x})=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{x-sin(x)}{x* sin(x)}=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{1-cos(x)}{sin(x)+x*cos(x)}=\bruch{0}{0}
[/mm]
so nun wende ich nochmals l'hospital an:
[mm] =\limes_{x\rightarrow0}(\bruch{sin(x)}{2*cos(x)+x*sin(x)})=\bruch{0}{2}=0
[/mm]
somit würde der Grenzwert bei 0 liegen für x [mm] \rightarrow [/mm] 0
Wäre nett wenn da mal jemand drüber schauen könnte und mir sagen würde falls mir ein Fehler passiert ist.
lg und Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Mo 01.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Bis auf einen kleinen Vorzeichenfehler, der am Ergebnis aber nix ändert, ist das alles ok.
Und es ist ein wenig "schluderig" notiert.
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\left(\bruch{1}{\sin(x)}-\bruch{1}{x}\right)
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow0}\bruch{x-\sin(x)}{x\cdot{} \sin(x)}
[/mm]
[mm] ="\bruch{0}{0}"
[/mm]
Also l'Hospital
[mm] =\limes_{x\rightarrow0}\bruch{x-\sin(x)}{x\cdot{}\sin(x)}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow0}\bruch{1-\cos(x)}{\sin(x)+x\cdot{}\cos(x)}
[/mm]
[mm] ="\bruch{0}{0}"
[/mm]
Also nochmal l#Hospital:
[mm] =\limes_{x\rightarrow0}\bruch{1-\cos(x)}{\sin(x)+x\cdot{}\cos(x)}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow0}\bruch{-(-\sin(x))}{\cos(x)+[1\cos(x)+x\cdot{}\red{(-}\sin(x)\red{)}]}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow0}\bruch{\sin(x)}{2\cos(x)\red{-}x*\sin(x)}
[/mm]
[mm] =\bruch{0}{2}=0
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Mo 01.02.2010 | | Autor: | Tolpi |
ok super, vielen dank
Aber wie gehe ich das nun in der a) an, wie kann ich denn lim substituieren? Die Regel von l'hospital haben mir ja noch was gesagt aber bei der a) habe ich leider gar keinen Ansatz.
Wäre für eine Hilfe sehr dankbar.
lg
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Hallo nochmal,
> ok super, vielen dank
>
> Aber wie gehe ich das nun in der a) an, wie kann ich denn
> lim substituieren? Die Regel von l'hospital haben mir ja
> noch was gesagt aber bei der a) habe ich leider gar keinen
> Ansatz.
Das hat Fred dir doch serviert ...
Substituiere [mm] $z:=x^3+x$
[/mm]
Was passiert mit z, wenn [mm] $x\to [/mm] 0$ geht?
Es geht auch gegen 0, also ist zu berechnen [mm] $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(x^3+x)}{x^3+x}=\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin(z)}{z}$
[/mm]
Hier hast du viele Möglichkeiten:
schön ist es über die Taylorreihe des Sinus, aber de l'Hôpital geht natürlich auch (und schnell  )
>
> Wäre für eine Hilfe sehr dankbar.
>
> lg
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Mo 01.02.2010 | | Autor: | Tolpi |
hm dann würde ich auf folgendes kommen:
[mm] \limes_{z\rightarrow0}\bruch{sin(z)}{z}=\limes_{z\rightarrowo}\bruch{cos(z)}{1}=\bruch{1}{1}=1
[/mm]
also wäre bei der a) der Grenzwert 1 oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Mo 01.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> hm dann würde ich auf folgendes kommen:
>
>
> [mm]\limes_{z\rightarrow0}\bruch{sin(z)}{z}=\limes_{z\rightarrowo}\bruch{cos(z)}{1}=\bruch{1}{1}=1[/mm]
>
> also wäre bei der a) der Grenzwert 1 oder?
Ja
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Mo 01.02.2010 | | Autor: | Tolpi |
eine Frage noch zu Schreibweise bei der a) ist es richtig wenn ich es so schreibe:
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{sin(x^3+x)}{x^3+x}
[/mm]
Substituiert: [mm] z:=x^3+x
[/mm]
[mm] z\rightarrow0 [/mm] wenn [mm] x\rightarrow0 [/mm] geht.
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{sin(x^3+x)}{x^3+x}
[/mm]
[mm] =\limes_{z\rightarrow0}\bruch{sin(z)}{z}=\bruch{0}{0}
[/mm]
Anwendung von l'hospital:
[mm] =\limes_{z\rightarrow0}\bruch{cos(z)}{1}=\bruch{1}{1}=1
[/mm]
Würde nur gerne wissen ob es Formal so richtig geschrieben ist oder ob da ein Fehler ist vom Formalen her.
Danke euch nochmals und vielen Dank für die allgemeine Hilfe.
Ihr seid die Besten!!!
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Mo 01.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> eine Frage noch zu Schreibweise bei der a) ist es richtig
> wenn ich es so schreibe:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{sin(x^3+x)}{x^3+x}[/mm]
>
> Substituiert: [mm]z:=x^3+x[/mm]
>
> [mm]z\rightarrow0[/mm] wenn [mm]x\rightarrow0[/mm] geht.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{sin(x^3+x)}{x^3+x}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{z\rightarrow0}\bruch{sin(z)}{z}=\bruch{0}{0}[/mm]
>
> Anwendung von l'hospital:
>
> [mm]=\limes_{z\rightarrow0}\bruch{cos(z)}{1}=\bruch{1}{1}=1[/mm]
>
> Würde nur gerne wissen ob es Formal so richtig geschrieben
> ist oder ob da ein Fehler ist vom Formalen her.
Das ist soweit Okay, ich würde nur die "Brüche", die zur Anwendung von l'Hospital führen, in Anführungsstriche setzen, also
[mm] _{''}\left(\bruch{0}{0}\right)'' [/mm] oder halt [mm] _{''}\left(\bruch{\infty}{\infty}\right)''
[/mm]
>
> Danke euch nochmals und vielen Dank für die allgemeine
> Hilfe.
>
> Ihr seid die Besten!!!
>
> lg
Marius
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