Grenzwerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:12 Mo 15.11.2010 | | Autor: | kaspanda |
| Aufgabe 1 | | Man zeige: Jede monoton steigende Folge [mm] (a_{n}) [/mm] die nicht konvergiert, divergiert bestimmt gegen [mm] +\infty [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Sei die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] konvergent mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n}) [/mm] = a. Man zeige, dass dann auch die Folge [mm] b_{n} [/mm] := [mm] \bruch{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n} [/mm] mit n [mm] \in \IN [/mm] mit demselben Grenzwert a konvergiert. (Hinweis: es gilt a = [mm] \bruch{na}{n}) [/mm] |
Hallo zusammen,
es wäre super, wenn mir jemand ein wenig Hilfestellung geben könnte. Meine Ideen soweit:
Aufgabe 1:
[mm] (a_{n}) [/mm] monton steigend [mm] \gdw (a_{n}) \le (a_{n+1}) [/mm] und da [mm] (a_{n}) [/mm] nicht konvergiert gilt: [mm] (a_{n}) [/mm] ist nicht beschränkt.
[mm] \Rightarrow \forall k\in\IR \exists N\in\IN \forall n\geN: (a_{n}) [/mm] > k
Sei [mm] (b_{n}) [/mm] := [mm] \bruch{1}{a_{n}}
[/mm]
Damit ist [mm] (b_{n}) [/mm] eine Nullfolge und nach einem Satz aus der Vorlesung gilt: [mm] \bruch{1}{b_{n}} [/mm] divergiert bestimmt gegen + [mm] \infty
[/mm]
Da gilt: [mm] \bruch{1}{b_{n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{a_{n}}} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] folgt die Behauptung.
So ok?
Zu Aufgabe 2:
bislang habe ich nur [mm] (b_{n}) [/mm] umformuliert in
[mm] b_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} \* \summe_{i=1}^{n} a_{i}
[/mm]
So richtig weiter hilft mir das aber auch nicht...
(Idee: ich denke, dass [mm] b_{n} [/mm] eine Nullfolge ist und somit [mm] a_{n} [/mm] auch eine Nullfolge sein muss. Nur dann habe ich den Aufgabenweg ja umgekehrt vollzogen, und das kann doch nicht richtig sein?)
Vielen Dank für eure Unterstützung!
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Hallo kaspanda,
> Aufgabe 1:
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> [mm](a_{n})[/mm] monton steigend [mm]\gdw (a_{n}) \le (a_{n+1})[/mm] und da
> [mm](a_{n})[/mm] nicht konvergiert gilt: [mm](a_{n})[/mm] ist nicht
> beschränkt.
>
> [mm]\Rightarrow \forall k\in\IR \exists N\in\IN, \forall n\ge{N}: (a_{n})>k[/mm]
Das [mm] \ge [/mm] wurde nicht angezeigt. Manchmal hilft es, den dem Relationszeichen folgenden Term in geschweifte Klammern zu setzen.
> Sei [mm](b_{n})[/mm] := [mm]\bruch{1}{a_{n}}[/mm]
>
> Damit ist [mm](b_{n})[/mm] eine Nullfolge und nach einem Satz aus
> der Vorlesung gilt: [mm]\bruch{1}{b_{n}}[/mm] divergiert bestimmt
> gegen + [mm]\infty[/mm]
>
> Da gilt: [mm]\bruch{1}{b_{n}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{a_{n}}}[/mm] =
> [mm]a_{n}[/mm] folgt die Behauptung.
>
> So ok?
Wenn Ihr so einen Satz hattet, dann ja.
> Zu Aufgabe 2:
>
> bislang habe ich nur [mm](b_{n})[/mm] umformuliert in
> [mm]b_{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n} \* \summe_{i=1}^{n} a_{i}[/mm]
>
> So richtig weiter hilft mir das aber auch nicht...
>
> (Idee: ich denke, dass [mm]b_{n}[/mm] eine Nullfolge ist und somit
> [mm]a_{n}[/mm] auch eine Nullfolge sein muss. Nur dann habe ich den
> Aufgabenweg ja umgekehrt vollzogen, und das kann doch nicht
> richtig sein?)
Nein, beide Folgen konvergieren doch gegen ein bestimmtes a. Das muss aber nicht Null sein.
Dafür ist [mm] c_n=a_n-a [/mm] eine Nullfolge. Vielleicht hilft die Dir ja, den Grenzwert von [mm] b_n [/mm] zu finden, zusammen mit dem in der Aufgabe gegebenen Tipp [mm] a=\bruch{na}{n}
[/mm]
Grüße
reverend
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