Grenzwerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Di 29.03.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Grenzwert berechnen:
[mm] $d_n [/mm] := [mm] \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}$ [/mm] |
[mm] $d_n [/mm] := [mm] \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2} [/mm] = ... = [mm] \left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)^n [/mm] = ...$
Soweit richtig? Wie gehe ich jetzt weiter vor? Ich kann ja jetzt nicht einfach zweimal die n-te-Wurzel anwenden, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Di 29.03.2011 | | Autor: | abakus |
> Grenzwert berechnen:
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> [mm]d_n := \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}[/mm]
> [mm]d_n := \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2} = ... = \left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)^n = ...[/mm]
>
> Soweit richtig? Wie gehe ich jetzt weiter vor? Ich kann ja
> jetzt nicht einfach zweimal die n-te-Wurzel anwenden, oder?
Hallo, du weißt, dass der Grenzwert von
[mm] \left(1+\frac{1}{n}\right)^n [/mm] e ist?
Und das nimmt man jetzt hoch n (und n wird groß...)
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Di 29.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Oh man, so einfach. Natürlich weiß ich, dass [mm] $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n [/mm] = e$ ist.
$ [mm] d_n [/mm] := [mm] \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2} [/mm] = ... = [mm] \left(\underbrace{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}_{=e}\right)^n \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \left( e^n\right) \to \infty$ [/mm]
Korrekt?
PS: Muss man den limes eigentlich jedes mal mitziehen, oder darf man den auch nur ganz am Schluss anwenden, wenn man wirklich dei Grenzbetrachtung durchführt? Also quasi so, wie ich es oben gerade gezeigt hab. Erst soweit Umformen bis es für'n limes passt und dann mit so nem Folgepfeil oder was weiß ich anzeigen, dass man nun den limes (natürlich den limes dann auch hinschreiben!) durchführt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Di 29.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Oh man, so einfach. Natürlich weiß ich, dass
> [mm]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e[/mm] ist.
Nein. [mm]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e[/mm]
>
> [mm]d_n := \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2} = ... = \left(\underbrace{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}_{=e}\right)^n \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \left( e^n\right) \to \infty[/mm]
>
> Korrekt?
Furchtbare Notation !
Einfacher gehts mit der Bernoullischen Ungl.:
[mm] d_n \ge [/mm] 1+n
FRED
>
>
> PS: Muss man den limes eigentlich jedes mal mitziehen, oder
> darf man den auch nur ganz am Schluss anwenden, wenn man
> wirklich dei Grenzbetrachtung durchführt? Also quasi so,
> wie ich es oben gerade gezeigt hab. Erst soweit Umformen
> bis es für'n limes passt und dann mit so nem Folgepfeil
> oder was weiß ich anzeigen, dass man nun den limes
> (natürlich den limes dann auch hinschreiben!) durchführt.
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