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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Di 03.07.2012 | | Autor: | D-C |
| Aufgabe | Hallo,
ich möchte von [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{tan(ax)-atan(x)}{asin(x)-sin(ax)} [/mm] für a [mm] \in \IR [/mm] - {-1,0,1} den Grenzwert bestimmen. |
Bei Aufgaben wo nur das x vorkam, war die Grenzwertbestimmung eigentlich kein großes Problem bisher. Hier irritiert mich das a jetzt ein wenig.
Kann ich hier einfach mit dem Quotientenkriterium beginnen, also in der Art:
[mm] \bruch{(f'g-fg')}{g^2} [/mm] = [mm] \bruch{(tan(ax)-atan(x))'*(asin(x)-sin(ax)) - (tan(ax)-atan(x)*(asin(ax)-sin(ax))'}{(asin(x)-sin(ax))^2}
[/mm]
und dann weiter ableiten und vereinfachen? Oder kann/muss ich vorher noch irgendwas mit dem a machen?
Gruß
D-C
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Di 03.07.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo D-C!
Was willst Du denn mit der Quotientenregel erreichen?
Du kannst hier eine  de l'Hospital-Regel anwenden, da ein unbestimmter Ausdruck der Form [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] vorliegt.
Das bedeutet aber, dass Du für die Grenzwertbestimmung(!) Zähler und Nenner jeweils separat ableiten musst.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Di 03.07.2012 | | Autor: | D-C |
Das würde also bedeuten ?
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{f}{g} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{f'}{g'} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{(tan(ax)-atan(x))'}{(asin(x)-sin(ax))'}
[/mm]
mit [mm] tan'=1+tan^2 [/mm] und sin'=cos
[mm] =\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{1+tan^2(ax)-1+tan^2(x)}{acos(x)-cos(ax)}
[/mm]
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Hallo D-C,
> Das würde also bedeuten ?
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{f}{g}[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{f'}{g'}[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{(tan(ax)-atan(x))'}{(asin(x)-sin(ax))'}[/mm]
>
>
> mit [mm]tan'=1+tan^2[/mm] und sin'=cos
>
>
> [mm]=\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{1+tan^2(ax)-1+tan^2(x)}{acos(x)-cos(ax)}[/mm]
Fast, du musst bei der Ableitung von [mm]\tan(a\cdot{}x)[/mm] aber die Kettenregel beachten! (ebenso bei [mm]\sin(ax)[/mm] --> [mm]a\cdot{}\cos(ax)[/mm])
[mm]\frac{d}{dx}\tan(ax)=a(1+\tan^2(ax))[/mm]
Du bekommst jedenfalls nochmal einen unbestimmten Ausdruck und musst de l'Hôpital noch zweimal anwenden (wenn ich mich auf die Schnelle nicht verrechnet habe) ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Di 03.07.2012 | | Autor: | D-C |
> Fast, du musst bei der Ableitung von [mm]\tan(a\cdot{}x)[/mm] aber
> die Kettenregel beachten! (ebenso bei [mm]\sin(ax)[/mm] -->
> [mm]a\cdot{}\cos(ax)[/mm])
>
> [mm]\frac{d}{dx}\tan(ax)=a(1+\tan^2(ax))[/mm]
>
> Du bekommst jedenfalls nochmal einen unbestimmten Ausdruck
> und musst de l'Hôpital noch zweimal anwenden (wenn ich
> mich auf die Schnelle nicht verrechnet habe) ...
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
Also?
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{a*(1+tan^2(ax))-1+tan^2(x)}{acos(x)-a*(cos(ax))}
[/mm]
und dann noch die Kettenregel? Was wäre denn hier dann mein f und g für
(f [mm] \circ [/mm] g)'(x) = f'(g(x)*g'(x)) ?
Gruß
D-C
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Hallo D-C,
> > Fast, du musst bei der Ableitung von [mm]\tan(a\cdot{}x)[/mm] aber
> > die Kettenregel beachten! (ebenso bei [mm]\sin(ax)[/mm] -->
> > [mm]a\cdot{}\cos(ax)[/mm])
> >
> > [mm]\frac{d}{dx}\tan(ax)=a(1+\tan^2(ax))[/mm]
> >
> > Du bekommst jedenfalls nochmal einen unbestimmten Ausdruck
> > und musst de l'Hôpital noch zweimal anwenden (wenn ich
> > mich auf die Schnelle nicht verrechnet habe) ...
> >
> >
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
> >
>
> Also?
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{a*(1+tan^2(ax))-1+tan^2(x)}{acos(x)-a*(cos(ax))}[/mm]
>
HIer fehlt doch ein "a":
[mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{a*(1+tan^2(ax))-\red{a}*\left(1+tan^2(x)\right)}{acos(x)-a*(cos(ax))}[/mm]
> und dann noch die Kettenregel? Was wäre denn hier dann
> mein f und g für
> (f [mm]\circ[/mm] g)'(x) = f'(g(x)*g'(x)) ?
>
Vereinfache zunächst obigen Ausdruck.
Prüfe dann, ob es sich wieder um einen unbestimmten Ausdruck handelt.
> Gruß
> D-C
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Di 03.07.2012 | | Autor: | D-C |
> HIer fehlt doch ein "a":
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{a*(1+tan^2(ax))-\red{a}*\left(1+tan^2(x)\right)}{acos(x)-a*(cos(ax))}[/mm]
>
>
> > und dann noch die Kettenregel? Was wäre denn hier dann
> > mein f und g für
> > (f [mm]\circ[/mm] g)'(x) = f'(g(x)*g'(x)) ?
> >
>
>
> Vereinfache zunächst obigen Ausdruck.
>
> Prüfe dann, ob es sich wieder um einen unbestimmten
> Ausdruck handelt.
>
> Gruss
> MathePower
Darf ich dafür eigentlich das a auf folgende Art "rausziehen" ?
a * [mm] \limes_{x\rightarrow\ o} \bruch{1+tan^2(ax)-(1+tan^2(x))}{cos(x)-cos(ax)} [/mm] = a * [mm] \limes_{x\rightarrow\ o} \bruch{tan^2(ax)-tan^2(x)}{cos(x)-cos(ax)}
[/mm]
Gruß
D-C
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Hallo nochmal,
> Darf ich dafür eigentlich das a auf folgende Art
> "rausziehen" ?
>
> a * [mm]\limes_{x\rightarrow\ o} \bruch{1+tan^2(ax)-(1+tan^2(x))}{cos(x)-cos(ax)}[/mm]
Wie das denn?
Du kannst a doch in Zähler und Nenner ausklammern und dann kürzen ...
> = a * [mm]\limes_{x\rightarrow\ o} \bruch{tan^2(ax)-tan^2(x)}{cos(x)-cos(ax)}[/mm]
>
> Gruß
> D-C
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Di 03.07.2012 | | Autor: | D-C |
> Du kannst a doch in Zähler und Nenner ausklammern und dann
> kürzen ...
>
> > = a * [mm]\limes_{x\rightarrow\ o} \bruch{tan^2(ax)-tan^2(x)}{cos(x)-cos(ax)}[/mm]
> LG
>
> schachuzipus
>
Also bleibt dann noch:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ o} \bruch{tan^2(ax)-tan^2(x)}{cos(x)-cos(ax)}
[/mm]
und dann nochmal l'hospital anwenden?
Gruß
D-C
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:09 Mi 04.07.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo D-C,
> > Du kannst a doch in Zähler und Nenner ausklammern und dann
> > kürzen ...
> >
> > > = a * [mm]\limes_{x\rightarrow\ o} \bruch{tan^2(ax)-tan^2(x)}{cos(x)-cos(ax)}[/mm]
>
> > LG
> >
> > schachuzipus
> >
>
> Also bleibt dann noch:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ o} \bruch{tan^2(ax)-tan^2(x)}{cos(x)-cos(ax)}[/mm]
>
> und dann nochmal l'hospital anwenden?
Vorher musst du überlegen, ob du de l'Hostpital anwenden DARFST. Aber du hast Glück, denn an der Stelle x=0 gibt das "[mm]\frac{0}{0}[/mm]", also nochmal ableiten und wieder schauen, was rauskommt bzw. ob du de l'Hospital nochmach brauchst bzw. verwenden darfst.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:49 Mi 04.07.2012 | | Autor: | D-C |
Ok, dann versuch ichs mal : )
[mm] \limes_{x\rightarrow\ o} \bruch{tan^2(ax)-tan^2(x)}{cos(x)-cos(ax)} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ o} \bruch{\bruch{a*2sin(ax)}{cos^3(x)}- \bruch{2sin(x)}{cos^3(x)}}{-sin(x)+a*(sin(ax))} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ o} [/mm] ( [mm] \bruch{a*2sin(ax)}{cos^3(x)}- \bruch{2sin(x)}{cos^3(x)} [/mm] ) * [mm] \bruch{a*(sin(ax)-sin(x))}{1}
[/mm]
Gruß
D-C
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Hallo D-C,
das sieht ein bisschen kraus aus.
> Ok, dann versuch ichs mal : )
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ o} \bruch{tan^2(ax)-tan^2(x)}{cos(x)-cos(ax)}[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow\ o} \bruch{\bruch{a*2sin(ax)}{cos^3(\red{a}x)}- \bruch{2sin(x)}{cos^3(x)}}{-sin(x)+a*(sin(ax))}[/mm]
Das kleine rote a fehlte noch, sonst ok.
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\ o}[/mm] ( [mm]\bruch{a*2sin(ax)}{cos^3(x)}- \bruch{2sin(x)}{cos^3(x)}[/mm] ) * [mm]\bruch{a*(sin(ax)-sin(x))}{1}[/mm]
Nein, so ist das nicht umzuformen. Um ehrlich zu sein, lässt sich da auch nichts mehr vereinfachen, solange a unbekannt ist.
Dafür hast Du wieder einen Bruch, der für [mm] x\to0 [/mm] die Form [mm] \bruch{0}{0} [/mm] annimmt. Also kann man l'Hospital noch einmal anwenden. Das wird aber langsam ungemütlich, im Zähler jedenfalls.
Noch ein Tipp zum Formeleditor: er funktioniert besser, wenn Du möglichst wenige Leerzeichen eingibst. Große Klammern gehen mit der Eingabe \left( bzw. \right).
\left(s-\bruch{p}{q}\right) ergibt also [mm] \left(s-\bruch{p}{q}\right)
[/mm]
Grüße
reverend
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