Grenzwerte & Potenzreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 So 04.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
| Aufgabe 1 | Bestimmen Sie die folgenden Grentwerte, falls sie existieren.
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{cosh(x)}{e^x}[/mm] |
| Aufgabe 2 | Bestimmen Sie alle Punkte der [mm]x \in \IR[/mm], für die Potzenreihe
[mm]f(x) = \summe_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n^2+n}{2}\right)\frac{1}{3^n}(n+3)^n[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich bin mir unsicher ob meine Lösungen richtig sind, wäre Dankbar wenn jemand zu der Richtigkeit ein Statement abgeben könnte.
Aufgabe 1:
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{cosh(x)}{e^x}=\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})}{e^x}[/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\cdot{}\frac{(e^x+e^{-x})}{e^x}=\frac{1}{2}\cdot{}\frac{\infty}{\infty}=\frac{1}{2}[/mm]
Aufgabe 2:
Bei dieser Aufgabe bin ich mir sehr unsicher.
[mm]r=\frac{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|an|}[/mm]
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\left(\frac{n^2+n}{2}\right)\frac{1}{3^n}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{\wurzel[n]{n^2+n}}{\wurzel[n]{2}}\cdot{}\frac{1}{3}[/mm]
[mm]=\frac{1}{1}\cdot{}\frac{1}{3}=\frac{1}{3}[/mm]
Also
[mm]r =\frac{1}{\frac{1}{3}}=3[/mm]
[mm]|x+3| < 3 \to konv.[/mm]
[mm]|x+3| >= 3 \to div.[/mm]
Den Rand habe ich untersucht, möchte ich jetzt nich hier hinschreiben, war bei mir aber auch Diviergent, dahher das ">=".
Stimmen die Lösungen alle so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 So 04.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lyrone!
Du darfst hier nicht einfach in einem unbestimmten Ausdruck wie [mm] $\bruch{\infty}{\infty}$ [/mm] kürzen.
Entweder wendest Du hier  de l'Hospital an. Aber das wird Dich doch nicht zum Ziel bringen, da sich immer ein Ausdruck der Form [mm] $\bruch{\infty}{\infty}$ [/mm] ergibt.
Daher solltest Du hier umformen:
[mm] $$\bruch{\cosh(x)}{e^x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{1}{2}*\left(e^x+e^{-x}\right)}{e^x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(\bruch{e^x}{e^x}+\bruch{e^{-x}}{e^x}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(1+e^{-2x}\right)$$
[/mm]
Nun die Grenzwertbetrachtung ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:58 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Lyrone |
Danke Loddar für den Hinweis mit dem unbestimmten Ausdruck, so langsam sollte es sich bei mir mal einprägen.
[mm]
\limes_{x\rightarrow\infty}\ \bruch{1}{2}\cdot{}\left(1+e^{-2x}\right)=\ \bruch{1}{2}\cdot{}\left(1+0\right)=\bruch{1}{2}[/mm]
Und auch ein Danke an schachuzipus für das nette Kontrollieren.
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
