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| Aufgabe | (a) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{exp(x)-5x^3}{4x^2+2x+7}
[/mm]
(b) [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{\wurzel[n]{1+x}-1}{x}
[/mm]
(c) [mm] \limes_{x\rightarrow 1} \bruch{x-1}{x-\wurzel[4]{x}} [/mm] |
Hallo,
versuche schon länger diese Aufgaben zu lösen, komme jedoch nicht weiter.
Bei (a) stört mich irgendwie das exp(x). Und bei den anderen beiden Aufgaben habe ich versucht die Brüche so zu erweitern, dass im Nenner die dritte binomische Formel steht. Bin damit aber leider nicht weitergekommen.
Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
Gruß, Gratwanderer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:21 So 03.01.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo gratwanderer,
bei der ersten Aufgabe sollte man wissen, dass die Exponentialfunktion stärker wächst als jede andere Potenzfunktion. Was kommt dann da wohl raus?
Bei b) und c)sollte die Regel von L'Hospital weiterhelfen. Gilt für den Grenzwert [mm] x_0 [/mm], dass ein Bruch im Zähler und im Nenner beim Einsetzen des Grenzwertes den Wert 0 annimmt, so gilt:
$$ [mm] \lim_{x \rightarrow x_0} \bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] = [mm] \lim_{ x \rightarrow x_0} \bruch{f^{'} (x)}{g^{'} (x)} [/mm] $$
Diese Regel lässt sich auch mehrmals hintereinander anwenden.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo Infinit,
vielen Dank für die schnelle Antwort!
Bei a würde das dann bedeuten, dass [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{exp(x)-5x^3}{4x^2+2x+7} [/mm] = [mm] \infty [/mm] ist, oder?
Die Regel von l'Hospital haben wir zwar noch nicht durchgenommen, habe es trotzdem damit versucht. Hoffe ich habe richtig abgeleitet 
(b) [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{\wurzel[n]{1+x}-1}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{\bruch{1}{n}(1+x)^\bruch{1-n}{n}}{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
(c) [mm] \limes_{x\rightarrow 1} \bruch{x-1}{x-\wurzel[4]{x}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 1} \bruch{1}{1-\bruch{1}{4}x^-\bruch{3}{4}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{3}{4}} [/mm] = [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
Ist das so richtig?
Gruß, Gratwanderer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:50 So 03.01.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo gratwanderer,
ja, die Schlussfolgerung für die erste Aufgabe ist okay und die Berechnung der Ableitungen auch.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Mi 06.01.2010 | | Autor: | JulianTa |
Hm... wie gesagt, l'Hosptial hatten wir noch nicht, da dürfen wir ihn wahrscheinlich auch nicht nehmen. Hat denn jemand eine Idee wie man geschickt umformen könnte, dass man auch so die Grenzwerte herausbekommt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Mi 06.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Hm... wie gesagt, l'Hosptial hatten wir noch nicht, da
> dürfen wir ihn wahrscheinlich auch nicht nehmen. Hat denn
> jemand eine Idee wie man geschickt umformen könnte, dass
> man auch so die Grenzwerte herausbekommt?
Hallo,
bei der letzten Teilaufgabe würde ich x durch [mm] z^4 [/mm] substituieren. Der Term hat dann die bequemere Form
[mm] \bruch{z^4-1}{z^4-z}=\bruch{z^4-1}{z(z^3-1)}, [/mm] und mit x gegen 1 läuft auch z gegen 1.
Wenn du jetzt Zähler und Nenner durch (z-1) teilst, vereinfacht sich der Bruch zu
[mm] \bruch{z^3+z^2+z+1}{z(z^2+z+1)}.
[/mm]
Nun lasse z gegen 1 laufen...
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 Mi 06.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Hm... wie gesagt, l'Hosptial hatten wir noch nicht, da
> dürfen wir ihn wahrscheinlich auch nicht nehmen. Hat denn
> jemand eine Idee wie man geschickt umformen könnte, dass
> man auch so die Grenzwerte herausbekommt?
Ich bin es nochmal.
Was Aufgabe b) betrifft: Wie wäre es mit Taylor?
Da ich selbst zu faul war, habe ich wolframalpha.com befragt und als Reihenentwicklung für [mm] \wurzel[n]{1+x} [/mm] das erhalten:
1+x/n+((1-n) [mm] x^2)/(2 n^2)+((2 n^2-3 [/mm] n+1) [mm] x^3)/(6 n^3)+((-6 n^3+11 n^2-6 [/mm] n+1) [mm] x^4)/(24 n^4)+((24 n^4-50 n^3+35 n^2-10 [/mm] n+1) [mm] x^5)/(120 n^5)+((-120 n^5+274 n^4-225 n^3+85 n^2-15 [/mm] n+1) [mm] x^6)/(720 n^6)+O(x^7)
[/mm]
Subtrahiere 1, teile das Ergebnis durch x und lasse dann gegen Null gehen - übrig bleibt 1/n.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Di 05.01.2010 | | Autor: | JulianTa |
Hallo! Ich glaube, dass es ein bisschen zu einfach ist zu schreiben, dass die exp schneller wächst als jede Potenz. Deshalb hab ich mal hier einen lösungsvorschlag. Es wäre nett, wenn ihn jemand kommentieren könnte, ob man das so aufschreiben kann. Also so hab ichs gemacht:
Behauptung:
[mm] $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\exp(x)-5x^3}{4x^2+2x+7} [/mm] = [mm] \infty$
[/mm]
Beweis:
Betrachte: [mm] $$\frac{\exp(x)-5x^3}{4x^2+2x+7}$$
[/mm]
= [mm] \frac{\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}}-5x^3}{4x^2+2x+7} [/mm] (*)
Für x genügend groß, ist [mm] \frac{1}{24}x^4 -5x^3 \ge [/mm] 0, deshalb ist
(*) [mm] \ge \frac{1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+ 0 +\frac{x^5}{120} + ... - 0}{4x^2+2x+7}
[/mm]
[mm] \ge \frac{\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120} +...}{4x^2+2x+7}
[/mm]
mit [mm] x^2 [/mm] gekürzt liefert das:
= [mm] \frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}x+\sum_{n=3}^{\infty}{\frac{x^{n-2}}{n!}}}{4+\frac{2}{x}+\frac{7}{x^2}}
[/mm]
Jetzt sieht man, dass der Nenner gegen 4 geht für x gegen [mm] \infty, [/mm] und dass der Zähler gegen [mm] \infty [/mm] geht für x gegen [mm] \infty.
[/mm]
Also geht alles zusammen gegen [mm] \infty.
[/mm]
Kann man das so schreiben?
Lieben Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 Di 05.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo! Ich glaube, dass es ein bisschen zu einfach ist zu
> schreiben, dass die exp schneller wächst als jede Potenz.
> Deshalb hab ich mal hier einen lösungsvorschlag. Es wäre
> nett, wenn ihn jemand kommentieren könnte, ob man das so
> aufschreiben kann. Also so hab ichs gemacht:
>
> Behauptung:
> [mm]\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\exp(x)-5x^3}{4x^2+2x+7} = \infty[/mm]
>
> Beweis:
> Betrachte: [mm]\frac{\exp(x)-5x^3}{4x^2+2x+7}[/mm]
> =
> [mm]\frac{\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}}-5x^3}{4x^2+2x+7}[/mm]
> (*)
>
> Für x genügend groß, ist [mm]\frac{1}{24}x^4 -5x^3 \ge[/mm] 0,
> deshalb ist
>
> (*) [mm]\ge \frac{1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+ 0 +\frac{x^5}{120} + ... - 0}{4x^2+2x+7}[/mm]
>
> [mm]\ge \frac{\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120} +...}{4x^2+2x+7}[/mm]
>
> mit [mm]x^2[/mm] gekürzt liefert das:
>
> =
> [mm]\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}x+\sum_{n=3}^{\infty}{\frac{x^{n-2}}{n!}}}{4+\frac{2}{x}+\frac{7}{x^2}}[/mm]
>
> Jetzt sieht man, dass der Nenner gegen 4 geht für x gegen
> [mm]\infty,[/mm] und dass der Zähler gegen [mm]\infty[/mm] geht für x gegen
> [mm]\infty.[/mm]
> Also geht alles zusammen gegen [mm]\infty.[/mm]
>
> Kann man das so schreiben?
Ja
FRED
> Lieben Dank!
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Di 05.01.2010 | | Autor: | JulianTa |
Danke für die schnelle Antwort. Das heißt, dass es sozusagen so etwas wie ein "Majorantenkriterium für Funktionen" gibt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Di 05.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die schnelle Antwort. Das heißt, dass es
> sozusagen so etwas wie ein "Majorantenkriterium für
> Funktionen" gibt?
So etwa:
Gilt $f(x) [mm] \ge [/mm] g(x)$ für x>a und [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}g(x) [/mm] = [mm] \infty, [/mm] so ist
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x) [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
FRED
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