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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Grenzwerte und beweisen Sie ihre Behauptung:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (x^{1000}*exp(-x)) [/mm] |
Ich weis auch hier mal wieder nicht wie ich anzufangen habe...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Sa 21.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie die Grenzwerte und beweisen Sie ihre
> Behauptung:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (x^{1000}*exp(-x))[/mm]
> Ich weis
> auch hier mal wieder nicht wie ich anzufangen habe...
schreibe es um in [mm] $x^{1000}/\exp(x)$ [/mm] und wende de l'Hospital an: Damit Du das nicht "wieder und wieder und wieder..." tun musst, mach's erst mal für einfachere Fälle wie [mm] $x^2/\exp(x)$ [/mm] analog...
Damit's formal klarer/sauberer wird, meinetwegen auch mal für [mm] $x^5/\exp(x)\,.$
[/mm]
(Man sieht dann, dass da formal irgendwann die Fakultät des Exponenten auftaucht!)
Gruß,
Marcel
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Ah, ok, danke, dann müsste ich das prinzipiell oben so lange ableiten bis das x weg ist, unten bleibt ja immer gleich und im endeffekt geht dann das ganze gegen null ... falls ich das richtig verstanden habe???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Sa 21.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Krümel!
Das hast Du richtig verstanden. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Sa 21.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ah, ok, danke, dann müsste ich das prinzipiell oben so
> lange ableiten bis das x weg ist, unten bleibt ja immer
> gleich und im endeffekt geht dann das ganze gegen null ...
> falls ich das richtig verstanden habe???
wie schon gesagt: Du hast das alles korrekt erkannt.
Ein Tipp:
Behaupte einfach, was (für jedes $n [mm] \in \IN_0$) [/mm] der Grenzwert [mm] $\lim_{x \to \infty} (x^n*\exp(-x))$ [/mm] ist (nämlich [mm] $=0\,$).
[/mm]
Im Prinzip kann man einen Induktionsbeweis führen.
Ich würd's mir ein wenig einfacher machen, und mir mal überlegen:
Was ist die [mm] $n\,$-te [/mm] Ableitung von [mm] $f_n(x):=x^n$ [/mm] (als Funktion [mm] $\IR \to \IR$)? [/mm] (Man kann auch noch schneller sagen, dass der konkrete Wert gar nicht interessiert, aber das eine konstante (Funktion) sein wird).
Was ist die [mm] $n\,$-te [/mm] Ableitung von [mm] $\exp: \IR \to \IR$?
[/mm]
Mehr brauch' man da eigentlich nicht, und man hat nichts getan, was viel komplizierter wäre, aber eine viel allgemeinere Aussage bewiesen.
Und damit kann man auch folgern, was [mm] $\lim_{x \to \infty}(\exp(-x)*P_n(x))$ [/mm] sein wird, wenn [mm] $P_n\,$ [/mm] irgendein Polynom vom Grad $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:43 So 22.04.2012 | | Autor: | fred97 |
Mit der Reihendarstellung von [mm] e^x [/mm] sieht man für x>0:
[mm] e^x> \bruch{x^{1001}}{1001!},
[/mm]
also ist
[mm] \bruch{e^x}{x^{1000}}> \bruch{x}{1001!}.
[/mm]
Damit haben wir:
0< [mm] \bruch{x^{1000}}{e^x}< \bruch{1001!}{x} [/mm] für x>0.
FRED
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