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| Aufgabe | Bestimmen sie folgende Grenzwerte:
[mm] \limes_{n\rightarrow\0} (\bruch{sin(x)}{x})^{\bruch{1}{x^2}}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\0} \bruch{ln(sin(ax))}{ln(sin(bx))}
[/mm]
(Soll beides gegen Null gehen! Hab das nicht hinbekommen) |
Hallo!
Ich habe mir bei dem ersten gedacht, dass ich auf den Bruch in der Klammer l'hospital anweden kann. Dann würde ich als Grenzwert 1 rausbekommen. Mein Funktionsplotter sagt mir aber was anderes (ca. 0,8)
Beim Zweiten hab ichs auch mir l'Hospital versucht, bin aber auch da kläglichst gescheitert...
Ein kleiner Tipp wäre sehr nett!
Gruß Rainer
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> Bestimmen sie folgende Grenzwerte:
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> [mm]\limes_{\red{x}\rightarrow 0} (\bruch{sin(x)}{x})^{\bruch{1}{x^2}}[/mm]
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> [mm]\limes_{\red{x}\rightarrow 0} \bruch{ln(sin(ax))}{ln(sin(bx))}[/mm]
>
Du hattest beide Male [mm] $\lim_{n\rightarrow 0}$ [/mm] geschrieben: ich nehme an, dies war ein Tippfehler, habe dies deshalb korrigiert.
> (Soll beides gegen Null gehen! Hab das nicht hinbekommen)
> Hallo!
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> Ich habe mir bei dem ersten gedacht, dass ich auf den Bruch
> in der Klammer l'hospital anweden kann.
Geht nicht. Du kannst l'Hospital direkt nur gerade auf Brüche der Form [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] und [mm] $\frac{\infty}{\infty}$ [/mm] anwenden. Das Argument des Limes ist hier aber nicht ein Bruch sondern eine Potenz.
Ich schlage vor, dass Du deshalb zuerst einmal den Grenzwert des logarithmierten Arguments des gesuchten Limes bestimmst und wenn Du denn dann bestimmt hast, die Exponentialfunktion auf ihn anwendest. Bestimme also zuerst (mit l'Hospital)
[mm]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln\frac{\sin(x)}{x}}{x^2}=\ldots[/mm]
Man könnte dieses Vorgehen natürlich auch wie folgt schreiben, ist aber etwas klotzig:
[mm]\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^{1/x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\mathrm{e}^{\ln\left[\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^{1/x^2}\right]}
= \mathrm{e}^{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)}{x^2}} = \ldots
[/mm]
> Dann würde ich als
> Grenzwert 1 rausbekommen. Mein Funktionsplotter sagt mir
> aber was anderes (ca. 0,8)
>
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> Beim Zweiten hab ichs auch mir l'Hospital versucht, bin
> aber auch da kläglichst gescheitert...
Hier wäre l'Hospital in Ordnung, denn Zähler und Nenner dieses Quotienten gehen für [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$ gegen [mm] $-\infty$. [/mm] Nehmen wir z.B. einmal $a,b>0$ an, dann ist
[mm]\begin{array}{rcll}
\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{\ln\big(\sin(ax)\big)}{\ln\big(\sin(bx)\big)}&=&\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{\frac{a\cos(ax)}{\sin(ax)}}{\frac{b\cos(bx)}{\sin(bx)}} &\text{l'Hospital}\\
&=& \lim_{x\rightarrow 0+}\frac{a\cos(ax)\sin(bx)}{b\cos(bx)\sin(ax)} &\text{Bruch vereinfacht}\\
&=& \lim_{x\rightarrow 0+}\frac{ab\cos(ax)\cos(bx)-a^2\sin(ax)\sin(bx)}{ab\cos(ax)\cos(bx)-b^2\sin(ax)\sin(bx)} &\text{nochmals l'Hospital}\\
&=& \frac{ab}{ab}=1
\end{array}
[/mm]
Dies aber, wie gesagt, unter der Annahme $a,b>0$. Mit $a,b<0$ gehts auch, sofern man den Grenzwert [mm] $x\rightarrow [/mm] 0-$ betrachtet.
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