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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 So 20.01.2008 | | Autor: | diecky |
| Aufgabe | (i) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x²sin(\bruch{\pi²}{x²})
[/mm]
Wie lautet der Grenzwert?
a. [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
b. [mm] \bruch{2}{\pi}
[/mm]
c. [mm] \pi
[/mm]
d. [mm] \pi²
[/mm]
e. 0
(ii) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{\pi}{2}-arctan(x)}{log(\bruch{1}{x}+1)}
[/mm]
Wie lautet der Grenzwert?
a. 0
b. 1
c. e
d. e²
e. unendlich |
Zu (i)
Zunächst habe ich hier die x² in den Nenner geschrieben, sodass ich überhaupt erstmal alles auf einem Zähler und Nenner stehen habe:
[mm] \bruch{sin(\bruch{\pi²}{x²})}{\bruch{1}{x²}}
[/mm]
f(x):= [mm] sin(\bruch{\pi²}{x²})
[/mm]
geht für f(unendlich) gegen 0
g(x):= [mm] \bruch{1}{x²}
[/mm]
geht für g(unendlich) auch gegen 0
=> L'Hospital kann angewendet werden, es folgt:
f'(x)= [mm] cos(\bruch{\pi²}{x²})(\bruch{1}{x²} [/mm] - [mm] \bruch{2\pi²}{x^{3}})
[/mm]
g'(x)= [mm] -2x^{-3} [/mm] = [mm] \bruch{-2}{x^{3}}
[/mm]
f'(unendlich) => der vordere cos-Teil geht gegen 1, [mm] \bruch{1}{unendlich²} [/mm] geht gegen 0 und beim hinteren Teil bin ich mir etwas unsicher...der müsste doch eigentlich [mm] \pi²\bruch{2}{x^{3}} [/mm] gegen [mm] \pi² [/mm] gehen oder? Und somit der gesamte Term gegen [mm] \pi²....??
[/mm]
Zu (ii)
f(x):= [mm] \bruch{\pi}{2}-arctan(x) [/mm] .... irgendwie finde ich keine passende Umformung für den arctan, außer eine log-Umformung,die aber irgendwie zu kompliziert ist...habe mir deswegen den Graphen angeschaut und fand heraus (obs richtig ist, ist eine andere Frage), dass der Term für x gegen unendlich gegen unendlich streben müsste?
[mm] g(x)=log(\bruch{1}{x}+1)....geht [/mm] für x gegen unendlich gegen 0
=> insgesamt würde das bedeuten,dass kein reeller Grenzwert existiert, da aber hier 4 Lösungen angegeben werden und "unendlich" die plausibelste wäre, tippe ich darauf.
Bitte um Hilfe!
Vielen Dank!
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Hallo,
> (i) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} x²sin(\bruch{\pi²}{x²})[/mm]
>
> Wie lautet der Grenzwert?
> a. [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
> b. [mm]\bruch{2}{\pi}[/mm]
> c. [mm]\pi[/mm]
> d. [mm]\pi²[/mm]
> e. 0
>
> (ii) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{\pi}{2}-arctan(x)}{log(\bruch{1}{x}+1)}[/mm]
>
> Wie lautet der Grenzwert?
> a. 0
> b. 1
> c. e
> d. e²
> e. unendlich
> Zu (i)
> Zunächst habe ich hier die x² in den Nenner geschrieben,
> sodass ich überhaupt erstmal alles auf einem Zähler und
> Nenner stehen habe:
> [mm]\bruch{sin(\bruch{\pi²}{x²})}{\bruch{1}{x²}}[/mm]
> f(x):= [mm]sin(\bruch{\pi²}{x²})[/mm]
> geht für f(unendlich) gegen 0
> g(x):= [mm]\bruch{1}{x²}[/mm]
> geht für g(unendlich) auch gegen 0
> => L'Hospital kann angewendet werden, es folgt:
> f'(x)= [mm]cos(\bruch{\pi²}{x²})(\bruch{1}{x²}[/mm] -
> [mm]\bruch{2\pi²}{x^{3}})[/mm]
> g'(x)= [mm]-2x^{-3}[/mm] = [mm]\bruch{-2}{x^{3}}[/mm]
> f'(unendlich) => der vordere cos-Teil geht gegen 1,
> [mm]\bruch{1}{unendlich²}[/mm] geht gegen 0 und beim hinteren Teil
> bin ich mir etwas unsicher...der müsste doch eigentlich
> [mm]\pi²\bruch{2}{x^{3}}[/mm] gegen [mm]\pi²[/mm] gehen oder? Und somit der
> gesamte Term gegen [mm]\pi²....??[/mm]
Den Grenzwert [mm] \pi^2 [/mm] habe ich auch raus, aber deine Ableitung des Zählers ist nicht ganz richtig:
[mm] $f'(x)=cos\left(\bruch{\pi²}{x²}\right)*\left(-\bruch{2\pi²}{x^{3}}\right)$
[/mm]
> Zu (ii)
> f(x):= [mm]\bruch{\pi}{2}-arctan(x)[/mm] .... irgendwie finde ich
> keine passende Umformung für den arctan, außer eine
> log-Umformung,die aber irgendwie zu kompliziert ist...habe
> mir deswegen den Graphen angeschaut und fand heraus (obs
> richtig ist, ist eine andere Frage), dass der Term für x
> gegen unendlich gegen unendlich streben müsste?
Der Term $f(x)= [mm] \bruch{\pi}{2}-arctan(x)$ [/mm] geht für x [mm] \to [/mm] Unendlich gegen 0; also kannst Du die Grenzwertregel von L'Hospital anwenden.
> [mm]g(x)=log(\bruch{1}{x}+1)....geht[/mm] für x gegen unendlich
> gegen 0
> => insgesamt würde das bedeuten,dass kein reeller
> Grenzwert existiert, da aber hier 4 Lösungen angegeben
> werden und "unendlich" die plausibelste wäre, tippe ich
> darauf.
Du brauchst ja keine Umformung für den arctan, sondern nur dessen Ableitung:
Zähler: $f'(x) = [mm] -\bruch{1}{1+x^2}$
[/mm]
Nenner (ich nehme mal den ln als log an):
[mm] $g'(x)=\bruch{1}{\left(\bruch{1}{x}+1\right)}*\bruch{-1}{x^2}= \bruch{-1}{x^2+x}$
[/mm]
Der Grenzwert wäre dann
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{\pi}{2}-arctan(x)}{log(\bruch{1}{x}+1)} =\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^2+x}{x^2+1} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^2}{x^2+1}+\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x}{x^2+1} =1 [/mm]
So ich mich nicht verrechnet habe.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 So 20.01.2008 | | Autor: | diecky |
Vielen Dank!! Das löst all meine Probleme 
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