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Grenzwerte und Stetigkeit: Multiple-Choice-Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:12 Fr 15.01.2010
Autor: MichaelKelso

Aufgabe
Sei f: E [mm] \to \IR [/mm] ein Funktion mit E [mm] \subset \IR. [/mm] Welche der folgenden Aussage gelten? ('Ja' oder 'Nein' genügen als Antworten)

1.) Wenn f in einem Häufungspunkt p [mm] \in [/mm] E stetig ist, dann hat f in p einen
      Grenzwert

2.) Wenn f in einem Häufungspunkt p [mm] \in [/mm] E einen Grenzwert hat, dann ist f
      in p stetig.

3.) Wenn f in jedem p [mm] \in \IR [/mm] einen Grenzwert hat, dann ist E = [mm] \IR. [/mm]

4.) Wenn E = [a,b] mit a<b und f auf E stetig ist, dann is f(E) kompakt.

5.) Wenn E = [a,b] mit a<b und f auf E stetig ist, dann existiert c [mm] \in [/mm] E
     mit         ( f(a)+f(b) ) / 2 = f(c)

6.) Wenn E = [a,b] mit a<b und f auf E stetig ist, und 0 [mm] \not\in [/mm] f(E), dann
     existiert c [mm] \in [/mm] E mit   [mm] \wurzel{f(a)*f(b)} [/mm] = f(c)



Hallo!
Meine Überlegungen zu der Aufgabe waren:
1.) Ja, Begründung Satz 1 (weiter unten aufgeführt)
2.) Ja, Begründung Satz 1 (weiter unten aufgeführt)
3.) Nein, hierzu habe ich keine Begründung. Mir erschien es nur nicht
     richtig... :)
4.) Ja, Begründung Zwischenwertsatz (weiter unten aufgeführt)
5.) Ja, Begründung Zwischenwertsatz (weiter unten aufgeführt)

Sind meine Überlegungen richtig? Konnte man das auch aus den entsprechenden Sätzen schließen?
Wäre toll wenn mir jemand helfen könnte!
Vielen Dank
MFG

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


Satz 1
Seien X,Y metrische Räume, E  [mm] \subset [/mm] X, f: E [mm] \to [/mm] Y und p [mm] \in [/mm] E ein
Häufungspunkt von E. Dann gilt:
f ist stetig in p [mm] \gdw \limes_{n\rightarrow p} [/mm] f(x)=f(p)

Zwischenwertsatz
f: [a,b] [mm] \to \IR [/mm] stetig (a < b)
Für jedes [mm] \gamma \in \IR [/mm] zwischen f(a) und f(b) gibt es ein c [mm] \in [/mm] [a,b]
sodass [mm] f(c)=\gamma [/mm]


        
Bezug
Grenzwerte und Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:23 Sa 16.01.2010
Autor: rainerS

Hallo!

> Sei [mm]f: E \to \IR[/mm] ein Funktion mit [mm]E \subset \IR.[/mm] Welche der
> folgenden Aussage gelten? ('Ja' oder 'Nein' genügen als
> Antworten)
>  
> 1.) Wenn f in einem Häufungspunkt p [mm]\in[/mm] E stetig ist, dann
> hat f in p einen
> Grenzwert
>  
> 2.) Wenn f in einem Häufungspunkt p [mm]\in[/mm] E einen Grenzwert
> hat, dann ist f
>        in p stetig.
>  
> 3.) Wenn f in jedem p [mm]\in \IR[/mm] einen Grenzwert hat, dann ist
> E = [mm]\IR.[/mm]
>  
> 4.) Wenn E = [a,b] mit a<b und f auf E stetig ist, dann is
> f(E) kompakt.
>  
> 5.) Wenn E = [a,b] mit a<b und f auf E stetig ist, dann
> existiert c [mm]\in[/mm] E
> mit         $( f(a)+f(b) ) / 2 = f(c)$
>  
> 6.) Wenn E = [a,b] mit a<b und f auf E stetig ist, und 0
> [mm]\not\in[/mm] f(E), dann
>       existiert c [mm]\in[/mm] E mit   [mm]\wurzel{f(a)*f(b)}[/mm] = f(c)
>  
>
> Hallo!
>  Meine Überlegungen zu der Aufgabe waren:
>  1.) Ja, Begründung Satz 1 (weiter unten aufgeführt)

[ok]

>  2.) Ja, Begründung Satz 1 (weiter unten aufgeführt)

[ok]

>  3.) Nein, hierzu habe ich keine Begründung. Mir erschien
> es nur nicht
> richtig... :)

Dann müsstest du ein Gegenbeispiel angeben können.

>  4.) Ja, Begründung Zwischenwertsatz (weiter unten
> aufgeführt)

Ja ist richtig, die Begründung falsch. Woher weisst du, dass die FUnktion f im Intervall $[a,b]$ nur Werte aus dem Intervall $[f(a),f(b)]$ annehmen kann? (Gegenbeispiel: $a=-1$, $b=+1$, [mm] $f(x)=x^2$). [/mm]

Du musst zeigen, dass $f([a,b])$ abgeschlossen und beschränkt ist.


>  5.) Ja, Begründung Zwischenwertsatz (weiter unten
> aufgeführt)

Korrekt, da $( f(a)+f(b) ) / 2 $ zwischen $f(a)$ und $f(b)$ liegt.

Tipp zu 6: Der Logarithmus ist auf seinem Definitionsbereich stetig.

  Viele Grüße
    Rainer

Bezug
                
Bezug
Grenzwerte und Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:09 So 17.01.2010
Autor: MichaelKelso

Hallo!
Vielen Dank erstmal!
Also, zu 6. würde ich wieder sagen, dass es stimmt und als Begründung wieder den Zwischenwertsatz angeben.

zu 3. würde ich sagen, dass ich von einem abgeschlossenem und beschränktem Intervall auf die releen Zahlen abbilden kann, damit die erste Bedingung erfüllt ist, aber dadurch das Intervall nicht gleich den ganzen reellen zahlen ist.

MFG

Bezug
                        
Bezug
Grenzwerte und Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:11 So 17.01.2010
Autor: rainerS

Hallo!

> Hallo!
>  Vielen Dank erstmal!
>  Also, zu 6. würde ich wieder sagen, dass es stimmt und
> als Begründung wieder den Zwischenwertsatz angeben.
>  
> zu 3. würde ich sagen, dass ich von einem abgeschlossenem
> und beschränktem Intervall auf die releen Zahlen abbilden
> kann, damit die erste Bedingung erfüllt ist, aber dadurch
> das Intervall nicht gleich den ganzen reellen zahlen ist.

Ich nehme an, du meinst 4. Deine Begründung verstehe ich nicht. Warum bildet eine stetige Funktion ein abgeschlossenes Intervall auf eine beschränkte und abgeschlossene Menge ab?

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                                
Bezug
Grenzwerte und Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:42 So 17.01.2010
Autor: MichaelKelso

Hallo!
Mein Formulierung war irgendwie nicht so besonders gut ;)
Also,

6. Ja
    Meine Begründung wäre wieder der Zwischenwertsatz
3. Nein
    Wenn ich von einer Teilmenge von den reellen Zahlen auf die reellen
    Zahlen abbilde, kann ich denn dann nicht alle Elemente aus dem
    Zielbereich treffen? Ich dachte, dass ich von einem Intervall [a,b] mit
    a,b aus den reellen Zahlen und a<b auf die ganzen reellen Zahlen
    abbilde und sozusagen a [mm] \to -\infty [/mm] und b [mm] \to \infty [/mm]
    und ich bin der Meinung, dass das funktionieren müsste, da die reellen
    nicht abzählbar unendlich sind, also zwischen zwei reellen Zahlen
    unendlich, nicht abzählbar viele andere reellen Zahlen liegen.
    Ich hoffe das ist nicht zu verwirrend formuliert ;)

Danke!
MFG

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwerte und Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:14 So 17.01.2010
Autor: rainerS

Hallo!

>  3. Nein

Ah, du meinst wirklich Teil 3. ok.

>      Wenn ich von einer Teilmenge von den reellen Zahlen
> auf die reellen
> Zahlen abbilde, kann ich denn dann nicht alle Elemente aus
> dem
> Zielbereich treffen? Ich dachte, dass ich von einem
> Intervall [a,b] mit
>      a,b aus den reellen Zahlen und a<b auf die ganzen
> reellen Zahlen
> abbilde und sozusagen a [mm]\to -\infty[/mm] und b [mm]\to \infty[/mm]
>      
> und ich bin der Meinung, dass das funktionieren müsste, da
> die reellen
> nicht abzählbar unendlich sind, also zwischen zwei reellen
> Zahlen
> unendlich, nicht abzählbar viele andere reellen Zahlen
> liegen.

Da denkst du zu kompliziert. Die Voraussetzung ist:

f hat in jedem [mm] $p\in\IR$ [/mm] einen Grenzwert.

Kannst du dir eine Funktion vorstellen, die in jedem [mm] $p\in\IR$ [/mm] einen Grenzwert hat, die aber nicht auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert ist?

  Viele Grüße
    Rainer



Bezug
                                                
Bezug
Grenzwerte und Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:21 So 17.01.2010
Autor: MichaelKelso

Hallo!
Okay, jetzt habe ich es glaub ich.
Also zu 3.
Die Aussage gilt nicht, da ich die reellen zahlen ohne ein oder mehrere beliebige Elemente auf die reellen zahlen abbilden kann, aber es trotzdem eine Grenzwert gibt, auch wenn beispielsweise 2 nicht im Definitionsbereich ist, hat die Funktion trotzdem eine Grenzwert an dieser Stelle, also z.B. folgende Abbildung:
f: [mm] \IR \setminus [/mm] {2} [mm] \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto [/mm] x

Und war das was ich zu 6. geschrieben habe richtig? Dass die Aussage stimmt und zwar aud Grund des Zwischenwertsatzes?

Danke!
MFG

Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwerte und Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:56 So 17.01.2010
Autor: rainerS

Hallo!

> Hallo!
>  Okay, jetzt habe ich es glaub ich.
>  Also zu 3.
>  Die Aussage gilt nicht, da ich die reellen zahlen ohne ein
> oder mehrere beliebige Elemente auf die reellen zahlen
> abbilden kann, aber es trotzdem eine Grenzwert gibt, auch
> wenn beispielsweise 2 nicht im Definitionsbereich ist, hat
> die Funktion trotzdem eine Grenzwert an dieser Stelle, also
> z.B. folgende Abbildung:
>  f: [mm]\IR \setminus[/mm] {2} [mm]\to \IR[/mm] , x [mm]\mapsto[/mm] x

[ok]

>  
> Und war das was ich zu 6. geschrieben habe richtig? Dass
> die Aussage stimmt und zwar aud Grund des
> Zwischenwertsatzes?

Ja, wenn du den Zwischenwertsatz auf [mm] $g(x)=\ln [/mm] f(x)$ anwendest, bekommst du diese Aussage.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                                                                
Bezug
Grenzwerte und Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:24 So 17.01.2010
Autor: MichaelKelso

Hallo!
Super, vielen Dank!
MFG

Bezug
                                                                        
Bezug
Grenzwerte und Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:24 Mi 20.01.2010
Autor: Irina09

Ist die 6. Aussage nicht doch i.A. falsch?
Das klappt z.B. - so glaube ich - nicht, wenn man z.B. f(x) < 0 (also negative Funktionswerte) zulässt, was nach Aufgabenstellung ja möglich ist.

Liege ich da richtig?

Gruß
Irina

Bezug
                                                                                
Bezug
Grenzwerte und Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:34 Mi 20.01.2010
Autor: angela.h.b.


> Ist die 6. Aussage nicht doch i.A. falsch?
>  Das klappt z.B. - so glaube ich - nicht, wenn man z.B.
> f(x) < 0 (also negative Funktionswerte) zulässt, was nach
> Aufgabenstellung ja möglich ist.
>  
> Liege ich da richtig?
>  

Hallo,

ja, sehe ich auch so.

Und auch hier muß der ZWS herhalten zur Begründung.

Gruß v. Angela

> Gruß
>  Irina


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