Grenzwerte vertauschen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:37 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Doemmi |
| Aufgabe | Es sei (X,d) ein metrischer Raum, D [mm] \subset [/mm] X und [mm] f_{n} [/mm] : D [mm] \to \IR, [/mm] so dass ( [mm] f_{n} [/mm] ) gleichmäßig gegen f konvergiert. Es sei weiterhin [mm] x_{0} [/mm] ein Häufungspunkt von D und es gelte für jedes n [mm] \in \IN:
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} f_{n}(x) [/mm] =: [mm] y_{n}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass dann ( [mm] y_{n} )_{n} [/mm] konvergiert und
[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \limes_{x\rightarrow x_{0}} f_{n}(x)
[/mm]
gilt, dass man also beide Grenzwerte vertauschen darf. Zeigen Sie weiterhin, dass auf gleichmäßige Konvergenz nicht verzichtet werden kann. |
Ich habe lediglich einen Ansatz, wie man diese Aufgabe lösen kann, jedoch kann ich diese nicht ausführen.
Da [mm] (f_{n}) [/mm] konvergiert, ist diese Folge insbesondere eine Cauchyfolge. Wenn ich nun zeigen kann, dass ( [mm] y_{n} )_{n} [/mm] ebenfalls eine Cauchyfolge ist, ist gezeigt, dass auch diese konvergiert.
Sei dann der Grenzwert von ( [mm] y_{n} )_{n} [/mm] zum Beispiel y.
Dann kann ich die Gleichung nach Definition umschreiben, so dass am Ende noch da steht:
[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} [/mm] f (x) = y
Das wäre dann also noch zu beweisen. Wie?
Warum kann ich nicht auf die gleichmäßige Konvergenz verzichten?
Vielen Dank!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Fr 03.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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