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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:33 Mi 06.09.2006 | | Autor: | Mr.M |
| Aufgabe | Bestimmen Sie, soweit möglich, den Grenzwert a der Folge [mm] (a_n)_\in_\IN.
[/mm]
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{1*2}+\bruch{1}{2*3}+\bruch{1}{3*4}+...+\bruch{1}{(n-1)n} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen.
Die Aufgeabenstellung ist ja ansich eindeutig, mein Lösungsweg war der folgende:
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{1*2}+\bruch{1}{2*3}+\bruch{1}{3*4}+...+\bruch{1}{(n-1)n}
[/mm]
mit [mm] \summe_{i=1}^{n}(\bruch{1}{n(n+1)}) \gdw \summe_{i=1}^{n}(\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1})
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_n [/mm] = [mm] 1-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{3}-+...+\bruch{1}{n-1}-\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_n [/mm] = [mm] 1-\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{1}{n}) [/mm] = 1
Anschließend habe ich das natürlich überprüft, mit Derive. Dabei war der Grenzwert a = 1 identisch, jedoch gibt mir das Programm für [mm] \summe_{i=1}^{n}(\bruch{1}{n(n+1)}) [/mm] folgendes aus:
[mm] \summe_{i=1}^{n}(\bruch{1}{n(n+1)}) [/mm] = [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] ,
also für [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n+1}) [/mm] = 1
Vergleicht man nun die einzelnen Folgenglieder für beliebige [mm] n\in\IN [/mm] so
sieht das für mich aus als wäre die von mir gebildete Folge [mm] a_n [/mm] = [mm] 1-\bruch{1}{n} [/mm] nur eine Annährung die durch Zufall den gleichen Grenzwert besitzt.
Mich interessiert jetzt ob das zulässig ist und vor allem wie man von
[mm] \summe_{i=1}^{n}(\bruch{1}{n(n+1)}) [/mm] auf [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] kommt.
Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen und freue mich über jeden hilfreichen Beitrag.
Gruß Markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:54 Mi 06.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo markus
Dein einziger Fehler war, dass dein letzter "Summand" nicht 1/n sondern 1/(n+1) sein muss. Auf den Hauptnenner gebracht sind die Ergebnisse dann gleich.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 Mi 06.09.2006 | | Autor: | Mr.M |
Hallo leduart,
vielen Dank für deine rasante Antwort, war ein dummer Fehler von mir.
Tja manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr.
Vielen dank nochmal.
Gruß Markus
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