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| Aufgabe | Berechne im Existenzfall den Grenzwert von:
[mm] a)\limes_{x\rightarrow\{0}}(\bruch{sin(x)}{x})
[/mm]
[mm] b)\limes_{x\rightarrow\{0}}(\bruch{cos(x)-1}{x})
[/mm]
[mm] c)\limes_{x\rightarrow\{0}}(\bruch{exp(x)-1}{x})
[/mm]
[mm] d)\limes_{x\rightarrow\infty}(\bruch{exp(x)}{x^{k}} [/mm] mit k [mm] \in \IZ [/mm] |
Diese Aufgabe ist irgendwie sehr schwer.
Wir dürfen keine Ableitungen verwenden.
Zu a) hab ich etwas im internet gefunden.
cos(x)<=sin(x) /x <= 1 (kann mir jemand erklären, wie man darauf kommt? Ich muss ja auch begründen, warum das so ist und beweisen, dass das gilt)
[mm] \limes_{x\rightarrow\{0}}(cos(x)) [/mm] = 1, also
1<=sin(x)/x<=1, also ist der Limes =1
Das soll Einschnürungstechnik oder so heißen.
Zu den anderen AUfgaben fällt mir echt garnix ein und hoffe ihr könnt mir helfen. Bin schon am verzweifeln.
Danke im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Do 17.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Frage: hattet Ihr schon Potenzreihen ? Stetigkeit von Potenzreihen ?
Wie habt Ihr Sinus, Cosinus und die Exponentialfunktion eingeführt ?
FRED
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Potenzreihen haben wir schon definiert , mit Konvergenzradius und sowas.
Was du mit Stetigkeit von Potenzreihen meinst weiß ich nicht. Aber zur normalen Stetigkeit haben wir was gemacht.
Definiert haben wir die exp(x) mittels Potenzreihe: , also mit [mm] x^k/k!
[/mm]
Cos und Sinus auch als Reihen
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Also
wie kommt man eig auf: [mm] cos(x)\le\bruch{sin(x)}{x} \le1?
[/mm]
und wie kann ich b),c) und d) lösen?
Dazu fällt mir nichts ein
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> Also
> wie kommt man eig auf: [mm]cos(x)\le\bruch{sin(x)}{x} \le1?[/mm]
Hallo,
hast Du Dir die entsprechenden Reihen denn schonmal angeguckt?
>
> und wie kann ich b),c) und d) lösen?
> Dazu fällt mir nichts ein
Das würde ich auch über die Reihen angehen. Wie weit kommst Du denn damit?
Gruß v. Angela
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also wenn ich das mit den reihen machen würde, dürfte ich auch einfach die Reihe vom sinus benutzen?
Also sin(x)= [mm] x-\bruch{x^3}{3!} [/mm] + [mm] \bruch{x^5}{5!} [/mm] - .... usw
und einfach die reihe verkürzt benutzen, also
sin(x)= [mm] x-\bruch{x^3}{3!}
[/mm]
dann
sin(x)-x = [mm] \bruch{x^3}{3!}
[/mm]
dann einen betrag benutzen:
|sin(x)-x| = [mm] \bruch{|x^3|}{3!}
[/mm]
durch |x| teilen
[mm] |\bruch{sin(x)}{x}- [/mm] 1| = [mm] \bruch{x^2}{3!}
[/mm]
und für x--->0 geht [mm] \bruch{x^2}{3!} [/mm] --->0, und somit [mm] \bruch{sin(x)}{x}- [/mm] 1--->0
und damit [mm] \bruch{sin(x)}{x}--->1
[/mm]
darf man das so machen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Do 17.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Roxas-Roxas!
Es geht einfacher:
[mm] $$\bruch{\sin(x)}{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x-\bruch{x^3}{3!} +\bruch{x^5}{5!}+...}{x} [/mm] \ = \ [mm] 1-\bruch{x^2}{3!} +\bruch{x^4}{5!}+...$$
[/mm]
Und nun die Grenzwertbetrachtung ...
Gruß
Loddar
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ja aber gehts das wirklich so?
weil lim(a)+lim(b)+lim(c)+.... wäre ja 0+0+0+0+0
das wäre vom prinzip her das gleiche wie:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n [/mm] =
[mm] lim(1+\bruch{1}{n})*lim(1+\bruch{1}{n})*lim(1+\bruch{1}{n})*.....
[/mm]
=
1*1*1*...=1, obwohl der grenzwert "e" ist.
bei deiner Vereinfachnung wäre es doch so ähnlich oder nicht?
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Hallo Roxas_roxas,
> ja aber gehts das wirklich so?
Ja, das geht.
> weil lim(a)+lim(b)+lim(c)+.... wäre ja 0+0+0+0+0
Das war auch nicht Loddars Vorschlag!
> das wäre vom prinzip her das gleiche wie:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n[/mm] =
>
> [mm]lim(1+\bruch{1}{n})*lim(1+\bruch{1}{n})*lim(1+\bruch{1}{n})*.....[/mm]
> =
> 1*1*1*...=1, obwohl der grenzwert "e" ist.
Es gibt da einen Unterschied zwischen "plus" und "mal"...
Allerdings kommt er hier gar nicht zur Geltung.
> bei deiner Vereinfachnung wäre es doch so ähnlich oder
> nicht?
Nein. Es geht doch um folgendes:
[mm]\bruch{\sin(x)}{x} \ = \ \bruch{x-\bruch{x^3}{3!} +\bruch{x^5}{5!}+...}{x} \ = \ 1-\bruch{x^2}{3!} +\bruch{x^4}{5!}+\cdots [/mm]
Das ist erlaubt, solange [mm] x\not={0} [/mm] ist. Also vor dem Grenzwert.
Nun erst führst Du eine Grenzwertuntersuchung durch:
[mm] \limes_{x\to 0}1-\bruch{x^2}{3!} +\bruch{x^4}{5!}+...= [/mm] ?
Wohlgemerkt: ein Grenzwert. Du darfst ihn im allgemeinen tatsächlich nicht aufspalten, obwohl auch das hier kein Problem wäre, was nicht nur "ex post" (also angesichts des Ergebnisses) erlaubt wäre, sondern aufgrund fortgesetzter Addition sogar zu begründen wäre, da alle Potenzen von x gerade sind, es also nur um positive Terme geht. Für eine Reihenentwicklung mit ungeraden Potenzen wäre die Betrachtung schwieriger. Aber das sind zZ ungelegte Eier.
lg
reverend
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ok danke
aber ich versteh noch nicht ganz, was du mit "vor dem Grenzwert" und dann mit "Ein Grenzwert" meinst.
das versteh ich noch nich
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Hallo nochmal,
vor dem Grenzwert heißt: die Umformung ist gültig, solange x "noch nicht" Null ist, also [mm] x\not=0 [/mm] sichergestellt ist.
"ein Grenzwert" bezieht sich auf Deine Anfrage bzgl. der Zerlegung von Grenzwerten. Hier ist eine solche ja nicht nötig, man kann leicht den Grenzwert für den ganzen Term behandeln, ohne in mehrere Grenzwerte aufzuspalten.
Schlaf mal drüber. Morgen ist es bestimmt klarer.
Gute Nacht
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:55 Fr 18.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Potenzreihen haben wir schon definiert , mit
> Konvergenzradius und sowas.
> Was du mit Stetigkeit von Potenzreihen meinst weiß ich
> nicht.
Damit meine ich: ist [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n [/mm] eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius r>0 , ist D = (-r,r) (D = [mm] \IR, [/mm] falls r = [mm] \infty) [/mm] und
$f(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n [/mm] $ für x [mm] \in [/mm] D,
so ist f stetig auf D. Insbesondere:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n [/mm] =f(0) = [mm] a_0$
[/mm]
FRED
> Aber zur normalen Stetigkeit haben wir was gemacht.
> Definiert haben wir die exp(x) mittels Potenzreihe: , also
> mit [mm]x^k/k![/mm]
> Cos und Sinus auch als Reihen
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